Курс комплексного анализа, читающийся на факультете ВМК МГУ в 4 семестре

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение в ТФКП.
Введение в примерах Литература Общие наблюдения по курсу Комплексные числа Действия с комплексными числами Модуль и аргумент комплексного числа Умножение Деление Извлечение корня Стереографическая проекция Ряды и последовательности в ТФКП Функции комплексного переменного Предел функции в точке Непрерывность комплексной функции Теория пределов Дифференцируемость комплексной функции Производная комплексной функции Доказательство Дифференциал комплексной функции Условия Коши-Римана

Лекция 2. Интегрирование функций комплексного переменного. Часть 1.
Обобщение предыдущей лекции Введение обозначений Доказательство теоремы о дифференцируемости функции в точке Регулярность в точке Связь регулярности и дифференцируемости Интеграл функции комплексного переменного по кривым Мелкость разбиения Обозначения Свойства и оценки интегралов Свойство 1: Линейность Свойство 2 Свойство 3: Аддитивность по множеству Оценка Введение Формула Грина Интегральная теорема Коши Доказательство теоремы Примеры

Лекция 3. Интегрирование функций комплексного переменного. Часть 2.
Теорема Коши (повторение материала, изученного на прошлой лекции) Доказательство Интегральная формула Коши Интеграл типа Коши Доказательство Комментарий Утверждение Первая теорема Абеля Доказательство Формула Коши-Адамара Пособие для доказательства Признак Коши Теорема 5 Доказательство Что дальше

Лекция 4. Теоремы Вейерштрасса и единственности.
Введение Теорема Вейерштрасса Доказательство Теорема единственности Доказательство Применение теоремы Первый пример Второй пример Степенные ряды Ряды Лорана Что дальше

Лекция 5. Ряды Лорана.
Ряд Лорана Сходимость Теорема Лорана-Вейерштрасса Доказательство Первый шаг Второй шаг Неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана Доказательство Теорема Лиувилля Целая функция Доказательство Изолированные особые точки однозначного характера Определения Устранимая точка Полюс Существенно особая точка Теорема об устранимой особой точке Доказательство Теорема 2 Ход доказательства

Лекция 6. Особые точки однозначного характера.
Изолированные особые точки однозначного характера Теорема 1 Доказательство (о существенно особой точке) Доказательство Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечности Примеры (о бесконечности как устранимой точке) Теорема 4 (о бесконечности как особой существенной точке) Доказательство Теорема Сохоцкого Доказательство Теорема Пикара Теорема Мореры Доказательство

Лекция 7. Существенно особая точка.
Теорема   Изолированная особая точка однозначного характера (И.О.Т.О.Х) -определение Доказательство Теорема о существенной особой точке Доказательство Теорема Сохоцкого Случай А=бесконечность Случай А-конечное число Теорема Пикара Пример Где смотреть доказательство Примеры при a = бесконечность

Лекция 8. Теорема Мореры. Вычеты.
Первообразная Условия существования первообразной Теорема Мореры Определение регулярных (аналитических) функций Теория вычетов Вычет функции (определение) Основная теорема для конечных точек и ограниченных областей Основная теорема (2) теории вычетов Следствие из теоремы

Лекция 9. Теория вычетов.
Основные теоремы теории вычетов (повторение материала предыдущей лекции) Пример (вычислить интеграл от заданной функции) Лемма (формула вычисления вычета в случае полюса) Следствие из леммы Пример (вычислить интеграл от рациональной функции) Пример (вычислить интеграл) Анонс следующей лекции

Лекция 10. Лемма Жордана.
Лемма Жордана Пример Изолированная особая точка однозначного характера Задача (исследовать особые точки функции) Пример (найти интеграл по окружности) Домашнее задание

Лекция 11. Принцип аргумента. Теорема Руше.
Многозначные числа Логарифмический вычет, принцип аргумента Теорема Руше Основная теорема алгебры Задача (следствие теоремы Руше) Теорема Гурвица Применение теоремы Руше

Лекция 12. Конформные отображения. Часть 1.
(принцип сохранения области) (принцип максимума модуля) Следствие из теоремы 2 Задача Дирихле для уравнения Лапласа Конформное отображение (определение) Теорема Римана Дробно-линейные отображения Круговое свойство дробно-линейного отображения Теорема (круговое свойство дробно-линейного отображения) Лемма 1

Лекция 13. Конформные отображения. Часть 2.
Круговое свойство дробно-линейного отображения Свойство линейного отображения Свойства функции Жуковского Обобщённая степенная функция Экспоненциальная функция Задача (конформные отображения) Принцип симметрии