Курс "Наглядная геометрия и топология" читается на механико-математическом факультете МГУ во втором семестре. Курсы на отделениях математики и механики достаточно сильно отличаются, данный курс предназначен для отделения математики. 

Цель лекций - осветить ряд важных тем, которые традиционно оказываются не затронутыми в курсах геометрии и топологии, не смотря на то, что они касаются базовых вопросов этих курсов и, в явном или неявном виде, используются в различных сюжетах. 

К таким темам относятся, например, знаменитая теорема Жордана, утверждающая, что плоская замкнутая непрерывная кривая без самопересечений разбивает плоскость на две части; инверсия относительно окружности - преобразование плоскости, меняющее местами внутренность и внешность круга; формула Эйлера для многогранника и более общих объектов, разбитых на грани разной размерности, связывающая количества этих граней; сферическая геометрия, в которой точки лежат на сфере, а прямыми являются большие окружности, получающиеся пересечением сферы и плоскостей, проходящих через центр, и многое другое. 

Кроме того, имеется ряд красивых классических тем, которые вполне понятны студентам первого курса и даже старшим школьникам, тем не менее, эти темы обычно не обсуждаются в связи с нехваткой времени. Например, можно ли разрезать многоугольник на конечное число частей, переложить эти части и таким образом получить любой заранее заданный многоугольник? А многогранник? Или другой вопрос: что можно нарисовать с помощью механизма, собранного из жестких стержней и подвижно соединяющих их шарниров? А какой формы могут быть кристаллы? Все эти и многие другие вопросы мы будем разбирать в нашем курсе. 

Кроме того, мы поговорим о разделах геометрии и топологии, которые в настоящее время все большее используются в физике, химии, биологии, лингвистике, экономике и других науках. Материалы курса см. в http://dfgm.math.msu.su/ngit.p...

Список всех тем лекций

Лекция 1. Графы. Непрерывные отображения.
Приветствие, анонс курса Пример задачи в пространстве размерности 2, 3 Графы Определение непрерывного отображения Открытое подмножество и замкнутое подмножество Непрерывные кривые Свойства непрерывных кривых

Лекция 2. Графы. Вложение графа в плоскость.
Лемма о первой точке Степень вершины, путь в графе Вложение графа, планарные графы, плоский граф Теорема о вложении графа в плоскость Переформулировка теоремы Отношение эквивалентности Теорема Жордана

Лекция 3. Теорема Жордана.
Теорема Жордана (формулировка) Частный случай (теорема Жордана для ломаных) Следствие (лемма о четырёх точках) Следствие из леммы Общий случай теоремы Жордана (доказательство)

Лекция 4. Критерий планарности графов. Многогранники.
Формула Эйлера для плоских графов Теорема Понтрягина-Куратовского Определение гомеоморфизма графов Многогранники

Лекция 5. Многогранники. Выпуклые многогранники.
Многогранники Теорема (аналог теоремы Жордана для многогранной поверхности) Определение многогранника Выпуклый многогранник Теорема (формула Эйлера для выпуклого многогранника)

Лекция 6. Правильные многогранники, выпуклые многогранники.
Классификация правильных многогранников Теорема о существовании пяти правильных многогранников Соответствие между многогранным углом и многоугольником на сфере Утверждения (задачи на доказательство) о треугольнике Теорема Коши о жёсткости выпуклых многогранников Лемма Коши

Лекция 7. Выпуклые многогранники. Теорема Коши.
Теорема Коши о жёсткости выпуклых многогранников Лемма 1 (завершение док-ва теоремы Коши для строго выпуклых многогранников) Случай нестрого выпуклых многогранников Теорема Сабитова Свойства строго выпуклого многогранника (о построении "ежа") Теорема Минковского

Лекция 8. Третья проблема Гильберта.
Площадь и объём (3-я проблема Гильберта) Случай плоскости Теорема Бойяи-Гервина Случай пространства Теорема Дена Инвариант Дена Теорема Хадвигера Теорема Сидлера

Лекция 9. Топологические пространства.
Двумерные многообразия Определение топологии Примеры топологий Непрерывное отображение, открытое множество (напоминание) Задание топологии открытыми множествами Получение топологии с помощью окрестностей Пример, когда разные наборы окрестностей могут задавать одну топологию Непрерывность отображений Ещё примеры топологий Связное, линейно связное топологическое пространство Хаусдорфово топологическое пространство

Лекция 10. Двумерные многообразия.
Компактное топологическое пространство Свойства компактных пространств База топологии Двумерное многообразие Примеры двумерных многообразий Фактор-топология

Лекция 11. Двумерные многообразия (продолжение).
Примеры двумерных многообразий, склейки Теорема классификации Триангуляция двумерного многообразия Доказательство теоремы Эйлерова характеристика

Лекция 12. Теорема классификации. Связная сумма многообразий.
Теорема классификации Ориентируемость поверхности Подсчёт характеристики поверхности с помощью графа Операция связной суммы многообразий Переформулировка теоремы классификации Задачи о связной сумме

Лекция 13. Замкнутые регулярные кривые.
Замкнутые регулярные кривые Регулярно гомотопные кривые Регулярно гомотопные кривые с фиксированными концами Вектор скорости кривой Число вращения Теорема Уитни

Лекция 14. Замкнутые регулярные кривые на плоскости и на сфере.
Теорема Уитни (продолжение) Альтернативное доказательство Регулярные замкнутые кривые на сфере Теорема о регулярных замкнутых кривых на сфере

Лекция 15. Кристаллографические группы на плоскости.
Замкнутые регулярные кривые на цилиндре Определение числа оборотов кривой вокруг точки Теорема о замкнутых регулярных кривых на цилиндре Кристаллографические группы на плоскости Движения плоскости Орбита точки, стабилизатор точки Определение кристаллографической группы на плоскости Замощение плоскости, фундаментальная область подгруппы Композиции движений Эквивалентность двух кристаллографических групп

Лекция 16. Кристаллографические группы на плоскости (продолжение).
Кристаллографические группы на плоскости Область Дирихле Теорема об области Дирихле вокруг точек Подгруппа параллельных переносов, подгруппа в ортогональной группе Дискретные подгруппы в группе изометрий прямой Одинаковые группы

Лекция 17. Кристаллографические группы на плоскости. Подгруппа параллельных переносов.
Кристаллографические группы на плоскости Лемма 1 Лемма 2 Лемма 3 Следствие (о подгруппе параллельных переносов) Теорема о подгруппе параллельных переносов Теорема о подгруппе в ортогональной группе

Лекция 18. Арифметические классы и кристаллографические группы.
Кристаллографические группы на плоскости Пары подгрупп в ортогональной группе и решёток Рассмотрение арифметических классов с точностью до сопряжения Теорема об арифметических классах Соответствие арифметических классов и кристаллографических групп Теорема о кристаллографических группах на плоскости