Курс по теории случайных процессов для студентов отделения механики механико-математического факультета

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение в теорию случайных процессов.
История теории случайных процессов Определение случайного процесса и случайного поля Спектр Колмогорова-Обухова Гёльдеровская производная

Лекция 2. Винеровский процесс.
Введение Винеровский процесс Модель броуновского движения Эйнштейна Связь винеровского процесса с уравнением теплопроводности Винеровский процесс в многомерном пространстве Вычисление плотности распределения вероятности достижения конкретной точки до t

Лекция 3. Теорема Колмогорова о продолжении меры.
Теорема Колмогорова о продолжении меры Формулировка теоремы Колмогорова Мера по Колмогорову-Фомину Понятие полукольца, мера Бореля, Квазиинтервал, мера на квазиинтервалах Приложения квазиинтервалов в квантовой механике, фейнмановские интегралы

Лекция 4. Теорема Бохнера-Хинчина.
Введение в теорему Бохнера-Хинчина. Преобразования Фурье в приложении к теореме Бохнера-Хинчина Формулировка теоремы Бохнера-Хинчина для стационарных сред Теорема Бохнера-Хинчина для сред с флуктуирующей температурой

Лекция 5. Марковские процессы.
Общенаучное значение идеи Маркова Реализация идеи Маркова в теории случайных процессов Марковское свойство Однородная цепь Маркова Представление переходов состояний в виде графа, формула полной вероятности Теорема Маркова Примеры про эпидемии и филологию Пример из биологии Задача на цепь Маркова Доказательство теоремы Маркова Эргодическое свойство, эргодическая теорема Формулировка теоремы Маркова Примеры из механики, теория массового обслуживания

Лекция 6. Марковские процессы с непрерывным временем.
Краткий обзор предыдущей лекции Отказ от дискретности цепей Маркова Отказ от дискретности времени Стохастические матрицы Введение непрерывного времени Новая формулировка марковского свойства Проблема, которая решается прямым и обратным уравнениями Колмогорова Прямое и обратное уравнения Колмогорова Вывод уравнений Вывод прямого уравнения Колмогорова Формулировка аналога условия однородности Вывод обратного уравнения Колмогорова Решение для однородной марковской цепи Для переменной матрицы Коши, мультипликативный интеграл Вольтерра

Лекция 7. Марковские цепи с непрерывным набором состояний.
Краткое повторение предыдущей лекции Пример марковского процесса с непрерывным временем Марковские цепи с бесконечным числом состояний Отказ от дискретного набора состояний Переход к набору конечномерных объектов Применение марковского свойства к полученной функции плотности вероятности Свойство маргинальных функций распределения Уравнение Колмогорова-Чепмена / уравнение Смолуховского Вывод уравнения Дифференцирование корреляционного тензора однородного изотропного поля скорости

Лекция 8. Марковские процессы, продолжение.
Короткий повтор предыдущей лекции Диффузионные процессы, уравнение Эйнштейна-Фоккера-Планка Вывод уравнения Формулировка однородности во времени, винеровский процесс Перспективы достигнутого результата Пуассоновский процесс Задача на пуассоновский процесс

Лекция 9. Минимум Маундера в контексте Солнечной динамической теории.
Обращение к слушателям лекций Предисловие к докладу Наблюдение и сбор данных Достоверность данных Диаграмма Бабочка Обработка данных

Лекция 10. Марковские процессы. Перспективы развития.
Теория случайных процессов Уравнение Колмогорова Уравнение теплопроводности Развитие идей марковской теории

Лекция 11. Формула Каца - Фейнмана. Часть 1.
Постановка задачи Интегральное уравнение Ито Решение уравнения теплопроводности Формула Каца - Фейнмана для средней температуры

Лекция 12. Формула Каца - Фейнмана. Часть 2.
Вывод уравнения среднего поля Уравнение среднего поля для вектора Описание с помощью метода моментов