Спецкурс для студентов старших курсов и аспирантов кафедр теоретической направленности, в двух частях (72 часа).

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение. Сингулярные распределения и физические задачи, приводящие к ним.
Вводное слово о курсе Проблемы теоретической физики Уравнение Шрёдингера Пример (задача о свободной частице на конечном отрезке) Квадрат гамильтониана Теория вероятностей Частный случай распределения

Лекция 2. Основные и обобщенные функции.
Повторение материала предыдущей лекции Графики гауссианы Пример (рассмотреть функцию с интегральной точки зрения) Свойства интеграла Обобщённые функции Дифференцирование обобщённой функции Производная δ-функции Теорема об общем виде обобщённой функции, имеющей носитель, состоящий из конечного числа точек

Лекция 3. Спектр оператора умножения на координату.
Типы обобщённых функций (повторение) Преобразование Фурье обобщённых функций Пример (производная кусочно-непрерывной функции) Общее правило дифференцирования разрывных функций Уравнение x f(x)=0, x f(x)=1, x fʹ(x)=0 Плотность точечного заряда

Лекция 4. Мультипольное разложение в электростатике. Точечный диполь.
Плотность точечного заряда Точечный диполь Дипольное приближение Непрерывный случай Простые последовательности

Лекция 5. Предельные переходы плотностей в теории вероятностей. Дельта-функция сложного аргумента.
Задача (дипольный момент) Дифференцирование дельта-функции Ряд Тейлора Замена переменных в обобщённых функциях Задача (найти собственные значения оператора умножения на функцию координаты) Дельта-образные последовательности Пример (гиперболический тангенс)

Лекция 6. Важнейшие дельта-образные пределы в теоретической физике.
Предел гиперболического тангенса Пример (предел температуры, стремящейся к 0) Пример (экспонента) Пример (заряд, локализованный на поверхности сферы) Дельта-образная последовательность "шапочка" Формулы Сохоцкого Распределение Максвелла

Лекция 7. Преобразование Фурье основных и обобщенных функций.
Распределение Максвелла Варианты генерации дельта-образных последовательностей Фундаментальное решение оператора Лапласа Преобразование Фурье

Лекция 8. Формула Пуассона.
Обратное преобразование Фурье (решение домашнего задания) Свойства функции f(x)=(-π-x)/2 Формула суммирования Пуассона Функция Грина уравнения Лапласа Метрический тензор и его определитель Задача (вычислить якобиан заданной замены переменных) Домашнее задание

Лекция 9. Фундаментальное решение оператора Лапласа.
Задача (вычислить объём и площадь сферы в R^n) Оператор Лапласа Двумерный потенциал Законы сохранения токов в релятивистском смысле для точечных зарядов

Лекция 10. Степенные обобщенные функции.
Краткий обзор результатов предыдущих лекций Функция x_+^λ и ее производные Аналитическое продолжение обобщенных функций Аналитическое продолжение гамма-функции Полюсы и вычеты обобщенной функции x_+^λ

Лекция 11. Регуляризация обобщенных функций со степенными особенностями.
Регуляризация обобщенных функций со степенными особенностями Обобщенные функции x_-^λ, |x|^λ и |x|^λ sgn(x) Нормировка степенных обобщенных функций Целые степенные функции Симметризованные и антисимметризованные функции Пример (λ = -1)

Лекция 12. Полюсы и вычеты обобщенных функций |x|^λ и |x|^λ sgn(x). Прямое произведение и свертка обобщенных функций. Преобразование Фурье основных функций.
и 11 Полюсы и вычеты обобщенных функций |x|^λ и |x|^λ sgn(x) Прямое произведение обобщенных функций Свертка обобщенных функций Преобразование Фурье основных функций

Лекция 13. Унитарность преобразования Фурье в квантовой механике. Преобразование Фурье обобщенных функций.
Преобразование Фурье основных функций Унитарность преобразования Фурье в квантовой механике Фундаментальные решения оператора Лапласа в n-мерном евклидовом пространстве Равенство Парсеваля Преобразование Фурье обобщенных функций

Лекция 14. Основные свойства преобразования Фурье обобщенных функций. Запаздывающая функция Грина уравнения д’Аламбера в (3+1)-мерном пространстве-времени.
Сводка формул лекции 13 Основные свойства преобразования Фурье обобщенных функций Уравнение Максвелла в (3+1)-электродинамике Волновое уравнение с источником Запаздывающая функция Грина уравнения д’Аламбера в (3+1)-мерном пространстве-времени Функции Бесселя

Лекция 15. Функции Грина уравнения д’Аламбера в D-мерном пространстве Минковского. Потенциал Ленара – Вихерта.
Функция Грина Потенциал Ленара – Вихерта в (3+1)-электродинамике Сводка дельта-образных последовательностей