Теория функций на компактных римановых поверхностях занимает особое место в математике. С одной стороны, это вершина классического анализа, с другой - неиссякаемый источник ярких приложений к геометрии, теории чисел и все возрастающему множеству задач математической физики. Владение этой теорией необходимо для работы во многих областях современной математики и физики. Однако, в читаемых на мехмате базовых курсах комплексного анализа (и, тем более, геометрии) по традиции и по другим уважительным причинам не находится места для сколько-нибудь подробного изложение таких основ. Целью курса является построение центральной части здания классической теории функций на компактных римановых поверхностях (условно говоря, это теоремы Римана-Роха и Абеля и решение задачи обращения Якоби вместе с их следствиями о структуре и классификации алгебраических кривых) и галереи, ведущей в активно развивающуюся междисциплинарную область современной математики: теорию солитонов. 

Курс начинается с теории эллиптических функций и связанных с ними целых функций (по традиции именуемых тэта-функциями и сигма-функциями), отвечающей случаю алгебраических кривых рода единица и служащей основой для обобщений на случай высших родов. Такое обобщение нетривиально из-за существенных отличий теории функций на поверхностях рода выше единицы (с универсальным накрытием круг) от теории эллиптических функций (с универсальным накрытием плоскость), но именно оно позволяет понять и усвоить конструкции общего случая. Установив основные теоремы, мы приводим два решения задачи обращения Якоби --- с помощью тэта-функции Римана в общем случае и сигма-функции Клейна в гиперэллиптическом. Второй подход более частный, но является более прямым аналогом эллиптического случая и голоморфно зависит от модулярных параметров, что важно при изучении вырождений и снимает проблему Шоттки. Те же два подхода применяются затем для построения и изучения конечнозонных решений иерархии уравнения Кортевега-де Фриза.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Эллиптические функции: общие свойства, теория Вейерштрасса, дифференциальные уравнения. Часть 1.
Описание пространства мероморфных функций Пример Определение и свойства эллиптических функций Пример Описание эллиптических функций

Лекция 2. Эллиптические функции: общие свойства, теория Вейерштрасса, дифференциальные уравнения. Часть 2.
Предельные случаи р-функции Упражнение 1 Упражнение 2 Упражнение 3 Решение уравнений Кортевега — де Фриза типа бегущих волн Теорема Описание главных дивизоров Восстановление эллиптической функции на торе по ее главным частям в полюсах

Лекция 3. Тэта-функции одного переменного. Их классификация и приложения к построению эллиптических функций, гармоническому анализу и теории чисел.
Общие тэта-функции Упражнение 1 Упражнение 2 Упражнение 3 Упражнение 4 Упражнение 5 Риманова поверхность Голоморфные функции Обращение эллиптических интегралов

Лекция 4. Накрытия. Риманова поверхность аналитической функции.
Примеры на обращение эллиптических интегралов Пример 1 Пример 2 Упражнение 2 Накрытия Свойства накрытий Риманова поверхность аналитической функции

Лекция 5. Алгебраические функции.
Теорема 1 Общее замечание о накрытиях Утверждение 1 Утверждение 2

Лекция 6. Нормализация плоской алгебраической кривой. Понятие рода. Формула Римана-Гурвица.
Нормализация алгебраической кривой Формула Римана–Гурвица Примеры

Лекция 7. Методы гильбертова пространства для доказательства теорем существования. Теорема Римана-Роха.
Выводы из описания мероморфных и голоморфных 1-форм Оператор "*" и гильбертово пространство 1-форм Пополнение пространства Теорема о разложении Ходжа для 1-форм Лемма Вейля Теорема о существовании гармонических функций

Лекция 8. Гармонические функции.
Лемма Доказательство теоремы о существовании гармонических функций Примеры гармонических функций Упражнение 1 Упражнение 2 Теорема о полной сумме вычетов

Лекция 9. Голоморфные 1-формы.
Общая формула Римана-Гурвица Упражнения Канонический 4g-угольник Голоморфные 1-формы

Лекция 10. Теорема Римана-Роха.
Риманова поверхность рода 0 Риманова поверхность рода 1 Теорема Римана-Роха (формулировка) Риманова поверхность рода 2 Гиперэллиптические римановы поверхности и каноническое отображение Билинейные соотношения Римана

Лекция 11. Следствия билинейных соотношений Римана. Доказательство теоремы Римана-Роха.
Следствия билинейных соотношений Римана Доказательство теоремы Римана-Роха Теорема Абеля

Лекция 12. Теорема Абеля.
Теорема Абеля Следствия из теоремы Постановка задачи обращения Якоби Тэта-функция Римана Решение КдФ в терминах тэта-функции