Римановы поверхности и солитоны

Теория функций на компактных римановых поверхностях занимает особое место в математике. С одной стороны, это вершина классического анализа, с другой - неиссякаемый источник ярких приложений к геометрии, теории чисел и все возрастающему множеству задач математической физики. Владение этой теорией необходимо для работы во многих областях современной математики и физики. Однако, в читаемых на мехмате базовых курсах комплексного анализа (и, тем более, геометрии) по традиции и по другим уважительным причинам не находится места для сколько-нибудь подробного изложение таких основ. Целью курса является построение центральной части здания классической теории функций на компактных римановых поверхностях (условно говоря, это теоремы Римана-Роха и Абеля и решение задачи обращения Якоби вместе с их следствиями о структуре и классификации алгебраических кривых) и галереи, ведущей в активно развивающуюся междисциплинарную область современной математики: теорию солитонов. 

Курс начинается с теории эллиптических функций и связанных с ними целых функций (по традиции именуемых тэта-функциями и сигма-функциями), отвечающей случаю алгебраических кривых рода единица и служащей основой для обобщений на случай высших родов. Такое обобщение нетривиально из-за существенных отличий теории функций на поверхностях рода выше единицы (с универсальным накрытием круг) от теории эллиптических функций (с универсальным накрытием плоскость), но именно оно позволяет понять и усвоить конструкции общего случая. Установив основные теоремы, мы приводим два решения задачи обращения Якоби --- с помощью тэта-функции Римана в общем случае и сигма-функции Клейна в гиперэллиптическом. Второй подход более частный, но является более прямым аналогом эллиптического случая и голоморфно зависит от модулярных параметров, что важно при изучении вырождений и снимает проблему Шоттки. Те же два подхода применяются затем для построения и изучения конечнозонных решений иерархии уравнения Кортевега-де Фриза.