Курс «Основы математического моделирования» читается студентам третьего курса физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 6 семестре.

В начале курса вводятся основные понятия и принципы математического моделирования. В рамках курса рассматриваются некоторые классические задачи математической физики: внешние задачи для уравнения Гельмгольца, условия излучения Зоммерфельда, принцип предельного поглощения, принцип предельной амплитуды, парциальные условия излучения, излучение волн, задачи математической теории дифракции, задача Гурса, общая задача Коши, Функция Римана; изучается математическое моделирование нелинейных объектов и процессов, методы исследования математических моделей: вариационные методы решения краевых задач и определение собственных значений, принцип Дирихле, задача о собственных значениях, общая схема проекционного метода, метод Ритца и другие.  

Список всех тем лекций

Лекция 1. Основные типы математических моделей. Некоторые классические задачи математической физики.
Введение, история Основные этапы методов математического моделирования Основные типы математических моделей Прямые и обратные задачи математического моделирования Иерархия моделей Принцип аналогий Внешние задачи для уравнения Гельмгольца Условия излучения Зоммерфельда Принцип предельного поглощения

Лекция 2. Парциальные условия излучения. Задачи математической теории дифракции.
Парциальные условия излучения Задача с данными на характеристиках (задача Гурса) Задачи математической теории дифракции Общая задача Коши

Лекция 3. Общая задача Коши. Функция Римана.
Общая задача Коши (продолжение) Построение функции Римана в случае уравнения с постоянными коэффициентами (задача колебаний) Функция точечного импульса

Лекция 4. Перенос вещества в двухфазной среде. Динамика сорбции.
Динамика сорбции Линейный случай (изотерма Генри) Нелинейный случай (изотерма Ленгмюра)

Лекция 5. Метод подобия. Нелинейные процессы.
Метод подобия Задача Стефана (задача о фазовом переходе) Нелинейные процессы Квазилинейные уравнения Линейные уравнения Метод характеристик Условия на разрыве

Лекция 6. Нелинейное уравнение теплопроводности. Модель большого взрыва.
Повторение идей прошлой лекции (уравнение переноса) Нелинейное уравнение теплопроводности Задача о наводнении Модель большого взрыва Нелинейная модель горения Задача хищник-жертва

Лекция 7. Разностные схемы для уравнения теплопроводности.
Метод конечных разностей Разностные схемы для уравнения теплопроводности Необходимые условия устойчивости Достаточные условия устойчивости Метод прогонки

Лекция 8. Метод прогонки (продолжение). Консервативные разностные схемы.
Метод прогонки (продолжение) Консервативные разностные схемы

Лекция 9. Консервативные разностные схемы (продолжение). Схема бегущего счета для уравнения переноса.
Консервативные разностные схемы (продолжение) Экономичные разностные схемы Схема переменных направлений Локально - одномерная схема Итерационные методы при решении нелинейных уравнений Схема бегущего счета для уравнения переноса Геометрический критерий устойчивости схемы бегущего счета Монотонная схема

Лекция 10. Вариационные и проекционные методы решения задач.
Вариационные и проекционные методы решения задач Метод Ритца Метод Галеркина Метод наименьших квадратов Метод моментов Метод конечных элементов

Лекция 11. Асимптотические методы. Метод малого параметра.
Вариационный подход к решению задачи Штурма-Лиувилля Метод малого параметра Регулярный случай Случай сингулярного возмущения Метод осреднения

Лекция 12. Метод осреднения (продолжение). Метод ВКБ.
Метод осреднения (продолжение) Метод ВКБ (Венцеля, Крамерса и Бриллюэна)

Лекция 13. Некоторые новые объекты математического моделирования.
Вейвлет-анализ Фракталы и фрактальные структуры Модель брюсселятора Детерминированный хаос Перколяция Решение обратных нелинейных задач с помощью обратной задачи рассеивания Прямая задача рассеяния Обратная задача рассеяния Применение метода обратной задачи рассеяния к решению задачи Коши с уравнением Кортевега - де Фриза