Содержание курса:

1. Интерполяция и приближение функций
2. Численное интегрирование
3. Численные методы решения нелинейных уравнений
4. Методы решения основных задач линейной алгебры
5. Методы оптимизации
6. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
7. Элементы теории разностных схем

Список всех тем лекций

Лекция 1. Вводная лекция (процесс математического моделирования).
Процесс математического моделирования Задача "вычисления" (поиск корней уравнения) Пример 2 Погрешности задачи вычисления Погрешности округления t-разрядной ЭВМ Пример

Лекция 2. Приближение функций. Полиномиальная интерполяция.
Варианты приближения функций: аппроксимационный и интерполяционный Линейная интерполяция Полиномиальная интерполяция Интерполяционный полином Лагранжа Интерполяционный многочлен Ньютона Погрешность полиномиальной интерполяции

Лекция 3. Сплайн-интерполяция.
Сплайн-интерполяция Теорема (о свойствах кубического сплайна) Решение задачи интерполяции с помощью кубических сплайнов Теорема (построение кубических сплайнов на равномерных сетках)

Лекция 4. Аппроксимация функций.
Постановка задачи Задача среднеквадратичной аппроксимации Метод наименьших квадратов (МНК) Примеры Задача (метод скользящего среднего)

Лекция 5. Дифференцирование и интегрирование функций.
Постановка задачи интегрирования Квадратурные формулы интерполяционного типа Квадратурные формулы Ньютона-Котеса Квадратурная формула трапеций Квадратурная формула парабол

Лекция 6. Квадратурные формулы Гаусса - Кристоффеля.
Задача вычисления определённого интеграла Построение квадратурной формулы Гаусса-Кристоффеля Узлы и веса квадратурной формулы Формула прямоугольников Апостериорная оценка погрешности Численное дифференцирование

Лекция 7. Решение нелинейных уравнений.
Случай одного переменного Теорема о непрерывном сжатии Пример Метод релаксации Методы решения нелинейных уравнений

Лекция 8. Основные методы решения уравнений. Метод последовательного исключения Гаусса.
Основные методы решения уравнений Метод последовательного исключения Гаусса Теорема о возможности LU-разложения

Лекция 9. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Часть 1.
Повторение материала предыдущей лекции LU-разложение ленточных матриц Теорема об LU- разложении ленточных матриц Одношаговый итерационный метод Основные итерационные методы

Лекция 10. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Часть 2.
Одношаговый итерационный метод (повторение материала предыдущей лекции) Частный случай исходной задачи (симметричная положительно определённая матрица) Теорема Самарского Метод релаксации (метод Ричардсона) Метод последовательной верхней релаксации (SOR) Метод Якоби Пример (метод релаксации)

Лекция 11. Алгебраическая проблема собственных значений.
Основная задача (нахождение собственных векторов) Метод Якоби (вращений) Оценка нормы матрицы

Лекция 12. Минимизация.
Задача минимизации f(x), x∈R Методы нулевого порядка (задача) Методы более высокого порядка Задача о построении локальных экстремумов функций многих переменных Поведение стандартной функции Методы минимизации

Лекция 13. Методы минимизации.
Метод циклического покоординатного спуска Теорема о методе циклического покоординатного спуска Метод наискорейшего спуска Метод сопряженных градиентов

Лекция 14. Задача минимизации функционала.
Постановка задачи Достаточные условия Задача (применение метода приближённых функций)

Лекция 15. Разностные методы решения задач математической физики. Часть 1.
Постановка задачи Построение приближенного решения задачи Основные характеристики решения задач Невязка разностной схемы Аппроксимация разностной схемы Устойчивость разностной схемы Сходимость разностной схемы Задача (построение сеточной аппроксимации)

Лекция 16. Разностные методы решения задач математической физики. Часть 2.
Построение разностной схемы. Одномерное уравнение теплопроводности. Аппроксимация сеточного уравнения на шеститочечном шаблоне (схема с весами) Невязка разностной схемы Явная и неявная схемы Устойчивость Общий вид схемы с весами Расчётные формулы Простейшая схема «крест» для гиперболического уравнения

Лекция 17. Разностные методы решения задач математической физики. Часть 3.
Устойчивость схемы «крест» для гиперболического уравнения Простейшее уравнение диффузии Продольно-поперечная схема

Лекция 18. Дополнение к лекциям.
Разностные схемы для уравнения параболического типа Пример (уравнение реакции диффузии) Заключительное слово о курсе