В курсе «Методы математической физики» рассматриваются основные методы исследования краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики.

Отличительной особенностью курса является непосредственная связь между физической сущностью изучаемых явлений и математическими методами их исследования. Курс содержит математический аппарат, знание которого необходимо студентам-физикам для дальнейшей работы в области экспериментальной и теоретической физики.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Задача Штурма-Лиувилля.
Введение Содержание математической физики Историческая справка Задача о малых колебаниях ненагруженной струны с закрепленными концами Решение задачи Коши Задача Штурма-Лиувилля для прямоугольника Задача для прямоугольного параллелепипеда Задача Штурма-Лиувилля в круге Задача Штурма-Лиувилля в шаре

Лекция 2. Уравнение цилиндрических функций и свойства его решения.
Задача Штурма-Лиувилля в шаре Задача для угловой части Уравнение специальных функций Лемма 1 Определитель Вронского Лемма 2 Уравнение Бесселя Основные свойства гамма-функции

Лекция 3. Построение решения уравнения Бесселя в виде обобщенного степенного ряда.
Уравнение Бесселя Построение решения уравнения Бесселя в виде обобщенного степенного ряда (уравнение Фробениуса) Определитель Вронского Рекуррентные формулы Цилиндрические функции полуцелого аргумента Интегральное представление функции Бесселя

Лекция 4. Интегральное представление функции Бесселя.
Интегральное представление функции Бесселя Функции Ханкеля I и II рода Свойства функций Ханкеля Функция Неймана

Лекция 5. Собственные функции круга.
Определитель Вронского Асимптотика цилиндрических функций Собственные функции круга

Лекция 6. Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента.
Собственные функции круга Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента.Функции Инфельда и Макдональда Классические ортогональные полиномы (КОП) Основные свойства классических ортогональных полиномов

Лекция 7. Частные случаи классических ортогональных полиномов.
Основные свойства классических ортогональных полиномов Полиномы Якоби Полиномы Лежандра

Лекция 8. Частные случаи классических ортогональных полиномов (продолжение).
Рекуррентная формула для полиномов Лежандра Полиномы Лагерра Полиномы Эрмита Присоединенные функции Лежандра Сферические функции Шаровые функции

Лекция 9. Замкнутые и полные системы ортогональных функций.
Собственные функции шара Вспомогательные положения анализа Полиномы Лежандра

Лекция 10. Системы функций и полиномов.
Некоторые свойства полиномов Лежандра Система присоединенных функций Лежандра Система сферических функций Система полиномов Эрмита и Лагерра

Лекция 11. Уравнения в частных производных второго порядка.
Введение независимых переменных Преобразование уравнений второго порядка к каноническому виду в случае двух независимых переменных

Лекция 12. Уравнения в частных производных второго порядка (продолжение).
Случай n переменных Закон инерции квадратичной формы Приведение к каноническому виду

Лекция 13. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.
Малые поперечные колебания струны Постановка краевых задач Уравнение теплопроводности Стационарные процессы

Лекция 14. Постановка общей начально-краевой задачи. Формулы Грина.
Постановка общей начально-краевой задачи Первая и вторая формула Грина Задача 1

Лекция 15. Уравнения эллиптического типа.
Гармонические функции Третья формула Грина Основные свойства гармонических функций Принцип максимума Внутренние краевые задачи

Лекция 16. Внешние краевые задачи.
Случай трех измерений Двумерный случай Внешняя задача Дирихле Двумерный случай Случай трех измерений Двумерный случай Фундаментальные решения Лемма Дюбуа-Реймона Регулярная обобщенная функция Задача Дирихле

Лекция 17. Уравнения параболического типа.
Задача Дирихле Свойства функций Грина Задача Неймана Постановка краевой задачи Принцип максимума Принцип минимума Задача Дирихле Функции источника

Лекция 18. Задача Коши для уравнения теплопроводности.
Функции источника Первая теорема существования (Задача I) Задача Коши для уравнений теплопроводности Теорема Свойства фундаментального решения Интеграл Пуассона

Лекция 19. Уравнения гиперболического типа.
Задача Коши на бесконечной прямой Задача Коши в пространстве Уравнение колебаний на полупрямой Однородные граничные условия Принцип Дюамеля Постановка начально-краевой задачи Существование классического решения на отрезке

Лекция 20. Уравнения колебания на бесконечной прямой.
Существование классического решения уравнения колебания на отрезке Физический смысл функции Грина Уравнения колебания на бесконечной прямой Метод интегрирования по базовой плоскости Распространение краевого режима Колебания в пространстве

Лекция 21. Теория потенциала.
Вывод уравнения Кирхгофа Метод спуска Адамара Принцип Гюйгенса Равномерная сходимость интегралов Логарифмические потенциалы Теорема 1

Лекция 22. Свойства собственной функции и собственных значений задачи Дирихле.
Теоремы Фредгольма Теорема (решение внутренней задачи Неймана) Теорема (внешняя задача Дирихле) Свойства собственной функции и собственных значений задачи Дирихле Свойства интегральных уравнений Фредгольма с симметричным ядром Теорема Гильберта-Шмидта Теорема (о собственных значениях) Теорема Стеклова Полнота системы Уравнение Гельмгольца во внутренней области

Лекция 23. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
Внешняя задача Неймана Теорема (о внутренней задаче Дирихле и внешней задаче Неймана) Внешняя задача Дирихле Теорема о внутренней задаче Неймана в трёхмерном случае Теорема о внешней задаче Дирихле в трёхмерном случае Потенциал Робена Замечание Задача на собственные значения для оператора Лапласа в случае граничных условий Дирихле Свойства собственной функции симметричного ядра интегрального уравнения Теорема Гильберта-Шмидта