Курс «Дополнительные главы математического анализа» рассчитан на студентов первого и второго курса и органически вплетается в действующую программу основного курса «Математический анализ». Он содержит как дополнительные разделы, расширяющие кругозор слушателей в области классического анализа и теории функций, так и задачи повышенного уровня сложности по разделам, традиционно изучаемым в основном курсе.
Список всех тем лекций
Семинар 1. Свойства интегралов.
Интеграл Ньютона
Свойства интегралов
Обобщение понятия первообразной
Теорема
Рассуждение о том, стоит ли изучать интегралы
Существование (для каких функций интеграл существует и его можно вычислить)
Пример
Правила вычисления интегралов
Семинар 2. Интегрирование методом замены переменных.
Повторение материала прошлой лекции
Вывод правила из производной сложной функции и его применение
(применение формулы замены переменных)
(применение формулы замены переменных)
(применение формулы замены переменных)
Резюме по рассмотренным примерам
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Пример 7
Пример 8
Пример 9
Семинар 3. Методы интегрирования элементарных функций.
Повторение материала прошлой лекции
Классы интегрируемых функций
Формула Лейбница
Интегрирование по частям
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Семинар 4. Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование по частям
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Теорема
Семинар 5. Классы интегрируемых функций.
Теорема 1
Пример
Метод разложения на простейшие
Пример
Теорема 2
Задача
Теорема 3
Семинар 6. Техника интегрирования.
Теорема (продолжение прошлой лекции)
Интегрирование простейших дробей
Лемма (интегрирование простейшей дроби второго типа)
Пример
Семинар 7. Нестандартные способы интегрирования.
Классы интегрируемых функций
(интегрирование рациональной функции, аргументом которой является экспонента)
(интегрирование рациональной функции двух переменных, аргументом которой являются геометрические функции)
( рациональная функция)
Задача 2
Задача 3
Задача 4
(подстановка Эйлера)