Курс «Дополнительные главы математического анализа» рассчитан на студентов первого и второго курса и органически вплетается в действующую программу основного курса «Математический анализ». Он содержит как дополнительные разделы, расширяющие кругозор слушателей в области классического анализа и теории функций, так и задачи повышенного уровня сложности по разделам, традиционно изучаемым в основном курсе.

Список всех тем лекций

Семинар 1. Интегралы, зависящие от параметра.
Равномерная сходимость, Супремум - критерий Исследование на равномерную сходимость с помощью критерия Коши Интеграл sin(yx)/x, признак Дирихле, признак Вейерштрасса Интеграл sin(yx)/(x lnx), признак Дирихле Интеграл exp(-y(x-y)^2), критерий Коши, разбиение промежутка на два Интеграл (sin(sqrt(x^2+1)*y))/x, разбиение функции на две

Семинар 2. Ряды Фурье.
Тригонометрический многочлен Почленное интегрирование тригонометрического ряда Представление функции в виде ряда Фурье Функция сигнум Функция (pi-x)/2 Вычисление определённого интеграла с помощью ряда Фурье

Семинар 3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Непрерывность по параметру Дифференцируемость по параметру (ln(1-x^2))/(x^2(1-x^2)) до бесконечности ln(a^2+x^2)/(b^2+x^2)

Семинар 4. Приложение специальных функций к вычислению интегралов.
Интеграл exp(-x^2-(a/x)^2) Гамма-функция Бета-функция Формула суммирования (сумма ряда через преобразование Фурье)

Семинар 5. Производные гамма-функции.
до бесконечности (sin x)/x^m (выражение через гамма-функцию) Первая производная гамма-функции Вторая производная гамма-функции Разложение гамма-функции вблизи единицы

Семинар 6. Формула дополнения.
Доказательство формулы дополнения до бесконечности 1/((x^2+pi^2)ch x)