В курсе рассматриваются следующие разделы линейной алгебры: теория линейных пространств и подпространств, тензорная алгебра, теория линейных операторов, теория билинейных и квадратичных форм, теория линейных евклидовых (псевдоевклидовых, унитарных) пространств, теория линейных операторов в евклидовых пространствах (включая спектральную теорию самосопряженных операторов), теория билинейных и квадратичных форм в евклидовых пространствах, теория кривых и поверхностей второго порядка в аффинных евклидовых пространствах, элементы теории групп. 

На примере теории линейных пространств курс знакомит студентов со стандартным алгебраическим языком и даёт общие навыки работы с алгебраическими системами. В курсе линейной алгебры студенты делают первый шаг на пути знакомства с языками теории относительности и квантовой механики.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Линейное пространство. Определение и свойства.
Зачем физикам линейная алгебра? Литература по курсу Числовое поле Определение линейного пространства Простейшие свойства линейных пространств Базис и координаты элементов линейного пространства

Лекция 2. Подпространства линейных пространств. Линейная оболочка.
Изоморфизм линейных пространств Преобразование базиса и элементов линейного пространства Подпространства линейного пространства Линейные оболочки

Лекция 3. Система линейных уравнений. Евклидовы и унитарные пространства.
Критерии совместности неоднородной системы линейных уравнений Однородная система уравнений Общее решение неоднородной линейной системы уравнений Евклидовы и унитарные пространства Основные понятия Метрические отношения в евклидовом пространстве

Лекция 4. Евклидово пространство.
Унитарное пространство Метрические отношения в евклидовом пространстве Ортонормированный базис в евклидовом пространстве Разложение евклидова пространства на прямую сумму его подпространств Ортогональные и унитарные матрицы

Лекция 5. Ядро и образ линейного оператора. Собственные значения и собственные функции.
Операторы Ядро и образ линейного оператора Собственные значения и собственные векторы ЛО

Лекция 6. Линейный оператор в евклидовом и унитарном пространстве.
Линейные операторы в евклидовом пространстве: сопряженный оператор Линейные операторы в евклидовом пространстве: симметричный оператор Линейные операторы в евклидовом пространстве: ортогональный оператор Линейные операторы в унитарном пространстве

Лекция 7. Квадратичные и билинейные формы. Приведение к каноническому виду.
Линейные операторы в унитарном пространстве (продолжение) Квадратичные и билинейные формы: основные понятия Изменение квадратичной формы при линейных преобразованиях переменных Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием Связь билинейной формы с квадратичной

Лекция 8. Критерий Сильвестра. Тензор и его простейшие свойства.
Билинейные формы (продолжение) Закон инерции квадратичной формы Критерий Сильвестра Примеры тензоров Определение тензора и его простейшие свойства

Лекция 9. Операции над тензорами. Группы.
Определение тензора и его простейшие свойства (продолжение) Действия над тензорами Свертывание тензора Тензоры в евклидовом пространстве Физические примеры использования тензоров Группы Группы преобразований

Лекция 10. Псевдоевклидово пространство. Группа преобразований Лоренца.
Подгруппы Преобразование линейного пространства Группа преобразований Лоренца