Линейная алгебра и геометрия. Семинары

Семинар 1. Векторные пространства, линейная независимость

Семинар 2. Примеры подпространств. Преобразование координат при замене базиса. Применения формулы Грассмана

Семинар 3. Линейная независимость подпространств, прямые суммы, проекции на слагаемые

Семинар 4. Ядро линейной функции. Задание подпространства однородной системой линейных уравнений

Семинар 5. Нахождение базиса суммы и пересечения подпространств

Семинар 6. Связь инъективности и сюръективности. Квазиобратная матрица. Нахождение матрицы линейного оператора

Семинар 7. Инвариантные подпространства .Вычисление коэффициентов характеристического многочлена. Вычисление собственных значений и нахождение собственных векторов

Семинар 8. Коммутирующие семейства линейных операторов. Нахождение корневых подпространств. Корневое разложение инвариантного подпространства

Семинар 9. Нахождение жордановой нормальной формы и жорданова базиса

Семинар 10. Приложения ЖНФ: критерий нильпотентности в терминах собственных значений, вычисление циркулянта, оценка снизу размерности централизатора матрицы

Семинар 11. Извлечение корней из матриц. Вычисление значений функций от матриц

Семинар 12. Примеры вычисления многочлена и экспоненты от матрицы. Билинейные функции, их матрицы. Классификация билинейных функций ранга 1

Семинар 13. Симметрические билинейные и квадратичные функции, поляризация. Приведение к каноническому виду алгоритмом Лагранжа и методом Якоби

Семинар 14. Эквивалентность квадратичных форм. Проверка положительной или отрицательной определенности квадратичной функции

Семинар 15. Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора, угла между вектором и подпространством. Ортогонализация системы векторов. Свойства определителя Грама

Семинар 16. Углы между векторами, количество векторов с попарными углами π/3. Ортогональные операторы, их собственные значения, ортогональность собственных подпространств. Приведение ортогонального оператора к каноническому виду

Семинар 17. Сопряжённый оператор. Симметрические операторы. Приведение симметрического оператора к каноническому виду

Семинар 18. Положительно определённые симметрические операторы, извлечение квадратного корня. Полярное разложение линейного оператора

Семинар 19. Критические точки квадратичной функции на единичной сфере в евклидовом пространстве. Аффинные пространства: задание плоскостей, барицентрические координаты

Семинар 20. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве. Проведение через точку прямой, пересекающей две плоскости

Семинар 21. Матрица расстояний между точками евклидова пространства. Вычисление расстояния между плоскостями

Семинар 22. Аффинные отображения. Аффинные преобразования. Геометрическое описание движений евклидова пространства

Семинар 23. Приведение квадратичной функции к каноническому виду и к главным осям. Аффинная и метрическая классификация вещественных квадрик

Семинар 24. Вычисление значений и компонент тензоров в разных базисах. Разложимость тензоров в тензорное произведение

Семинар 25. Тензоры и линейные операторы. Свёртка тензоров. Тензорное произведение линейных операторов, его след

Семинар 26. Приведение кососимметрической билинейной функции к каноническому виду с использованием внешнего умножения