Войти
Математика 24 лекции
Линейная алгебра. Семинары
1
Лектор
Смирнов Сергей Валерьевич
#семинары
Механико-математический факультет
II семестр
Осень 2019

Семинары по линейной алгебре, ведутся по задачнику "Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре" под редакцией Ю. М. Смирнова.

Список всех тем лекций

Семинар 1. Векторное пространство, линейная независимость.
(п.1) (п.2) (п.3) (п.4) (п.5) (п.6) (п.7) (п.10) (п.11) (п.12) (п.13) (п.14) (п.15) Определение линейной независимости векторов Решение задачи № 997 (п.1) (п.2) (п.3) Общий случай задачи 999 Решение задачи № 1006 (п.1,2) (п.6) (п.7)

Семинар 2. Ранг, базис, размерность, координаты и матрица перехода.
(п.3) из домашнего задания (п.8) из домашнего задания из домашнего задания (п.1) (п.1) (п.2) Вариации задачи 1016 (п.4) Решение задачи № 1023 Матрица перехода от одного базиса к другому Решение задачи № 1027

Семинар 3. Линейные подпространства и операции над ними.
из домашнего задания из домашнего задания Линейное подпространство Решение задачи № 1033 Решение задачи № 1034 (п.4) Другие способы решения задачи № 1049 Пересечение, объединение и сумма линейных пространств (п.1) (п.10)

Семинар 4. Линейные функции и отображения.
Прямая сумма двух подпространств Пример: линейное пространство всех квадратных матриц является прямой суммой подпространства симметричных и подпространства кососимметричных матриц Линейное отображение Решение задачи № 1055 Множество линейных функций на данном линейном пространстве Размерность линейного пространства равна размерности двойственного пространства Второе двойственное пространство, изоморфизм линейных пространств, канонический изоморфизм Базис в ядре линейного функционала

Семинар 5. Аффинные пространства.
из домашнего задания из домашнего задания из домашнего задания Решение задачи № 1076 Аффинные пространства Аффинное подпространство Решение задачи № 1088 Решение задачи № 1089 (п.2) Терминология взаимного расположения в пространствах высшей размерности

Семинар 6. Линейные операторы.
из домашнего задания Пример 1 Пример 2 (п.1) Линейные операторы Решение задачи № 1099 Решение задачи № 1112

Семинар 7. Ядро и образ линейного оператора.
Характеристический многочлен Операторы проектирования Операторы отражения Задача Ядро и образ линейного оператора Решение задачи №1118 Решение задачи Определение собственного вектора Решение задачи №1164

Семинар 8. Жорданова форма.
Оператор с одним собственным значением Тождественные операторы Общий случай (п.12) Решение задачи

Семинар 9. Приложение жордановой формы матрицы.
Приложение жордановой формы Задача (возведение матрицы в степень) Функции от матриц (п.2) Решение задачи (п.1)

Семинар 10. Скалярное произведение.
Скалярное произведение Решение задачи №1273 Комплексный случай (п.2) Матрица Грама Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Решение задачи №1291 Решение задачи №1296

Семинар 11. Представление матрицы в виде произведения ортогональной на верхнетреугольную.
Представление матрицы в виде произведения ортогональной на верхнетреугольную Решение задачи № 1309 Матрица Грама Решение задачи № 1346 Решение задачи № 1350

Семинар 12. Проектирование вектора на подпространство.
(из домашнего задания) Проектирование вектора на подпространство Решение задачи № 1354 (п.1) Угол между вектором и проекцией (п.4) Пример (вычисление расстояния) Евклидово пространство Решение задачи № 1366 Решение задачи № 1368

Семинар 13. Решение задач.
(из домашнего задания) Решение задачи №1370 Решение задачи №1372 Решение задачи №1377 Найдена ошибка в решении задачи № 1372

Семинар 14. Операторы в евклидовых пространствах.
из домашнего задания N-мерный куб N-мерный симплекс (п.3) Операторы в евклидовых пространствах Решение задачи № 1409 Пример Произведение двух операторов

Семинар 15. Самосопряженные операторы.
и решение (из домашнего задания) Самосопряженные операторы (п.3) Операторы, сохраняющие скалярное произведение (п.3) Ортогональный оператор

Семинар 16. Полярные разложения.
из домашнего задания Ортогональные операторы (п.2) Канонический вид в случае n=3 (п.1) Полярные разложения Решение задачи № 1550

Семинар 17. Билинейная функция.
Билинейная функция Ортогональность нелинейной функции Квадратичная форма Теорема о приведении билинейной функции к каноническому виду (п.6) Критерий Сильвестра Решение задачи № 1257

Семинар 18. Кососимметрическая билинейная функция.
(п.3) из домашнего задания из домашнего задания (п.1) Решение задачи № 1264 Кососимметрическая билинейная функция (п.1) Приведение пары форм к каноническому виду (п.9)

Семинар 19. Приведение пары форм к каноническому виду.
Приведение пары форм к каноническому виду (п.4) Второй способ приведения пары форм к каноническому виду (п.1) Гиперповерхности второго порядка

Семинар 20. Операторы, сохраняющие билинейные функции.
(из домашнего задания) (из домашнего задания) Операторы, сохраняющие билинейные функции Группы малой размерности Геометрия матриц Унитарные матрицы Описание группы Sp (2n)

Семинар 21. Тензоры.
(из домашнего задания) Тензоры Тензорный закон преобразования Пример

Семинар 22. Обратная матрица и тензорные операции.
Символ Кронекера Обратная матрица Задача Новые обозначения Тензорные операции Тензорное умножение Свёртка

Семинар 23. Тензорные операции.
(из домашнего задания) Поднятие и опускание индексов Пример Тензорное произведение на уровне полилинейных функций Базис в пространстве тензоров Пример Пример

Семинар 24. Альтернирование и симметрирование.
(из домашнего задания) Симметричные и кососимметричные тензоры Альтернирование тензора Внешнее произведение Пример Задача (внешнее произведение) Базис в пространстве кососимметричных тензоров