Цели и задачи данного курса: освоение студентами строгих математических методов квантовой теории информации, опирающихся на продвинутые разделы матричного анализа, линейной алгебры, функционального анализа, топологии; приобретение навыков исследования фундаментальных ограничений, которые накладывает информационная теория на различные квантовые процессы (установление пропускной способности квантовых каналов, описывающих широкий класс физических процессов, разрушение и генерация сцепленности, вывод различных энтропийных неравенств); приобретение навыков диаграммного мышления в квантовой теории.

Квантовая теория информации позволяет предсказать, чего в принципе возможно достичь в различных (квантовых) протоколах обработки информации, квантовых алгоритмах, квантовой коррекции ошибок. Все эти области активно развиваются в последние годы, а построение полноценно работающего квантового компьютера - вопрос ближайших нескольких десятилетий. По этой причине специалисты в области квантовой информации будут широко востребованы.

Данный курс охватывает области, составляющие теоретические основы для построения квантового компьютера и создания протоколов обработки квантовой информации, однако изложение здесь ведется, исходя из фундаментальных принципов, с использованием таких общих представлений, как квантовый канал, оператор плотности, открытая система, сепарабельность, меры сцепленности, сцепленность (и другие характеристики квантовых систем) как ресурс для задач квантовых коммуникаций.

Отдельная важная часть, которая предполагается широко присутствовать в обновленном курсе - метод тензорных диаграмм (tensor networks). Диаграммные методы громко заявили о себе как эффективном инструменте в теоретической и математической физике, начиная еще с диаграмм Майера, Пенроуза, Фейнмана. В области квантовой информации они чрезвычайно полезны, так как, имея композициональный характер, они позволяют наглядно представить процессы, связывающие различные части сложных, составных квантовых систем, выявить неожиданные свойства, которые порой сложно увидеть применением аналитических методов. Типичный пример здесь - открытие механизма квантовой телепортации: с момента оформления аксиоматики квантовой теории (который можно связать с выходом книги Джона фон Неймана "Математические основы квантовой теории" в 1932 г.) потребовалось еще около 60 лет, чтобы усмотреть возможность такого механизма. Причина - стандартный формализм операторов и состояний в гильбертовом пространстве неудобен для описания составных квантовых систем. Язык же тензорных диаграмм позволяет ясно представить такие протоколы, как квантовая телепортация, сверхплотное кодирование, и т. д. В этой связи диаграммы ценны с педагогической точки зрения: после освоения языка "сложные" квантовые протоколы становится легче воспринимать, кроме того, изложение становится более компактным, так как длинные аналитические выкладки часто заменяются короткими диаграммными рассуждениями.

Курс имеет значительный уклон в теорию квантовой сцепленности и содержит результаты, недавно полученные и опубликованные ведущими учеными в этой области, а также и самим автором (такие, как неравенства для мер сцепленности, диаграммные методы получения истинно сцепленных подпространств, некоторые критерии сцепленности [12, 13]). В этом отношении курс современен и опирается на передовые исследования.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Постулаты традиционной квантовой теории.
Введение Принцип Ландауэра Модель обратимых изменений Квантовая теория информации Постулаты квантовой теории информации Симметрия систем

Лекция 2. Оператор плотности.
Отличие от классической вероятности Открытые системы Свойства оператора плотности

Лекция 3. Сфера Блоха.
Оператор Блоха Сфера Блоха Среднее значение оператора проекции спина Разложение Шмидта

Лекция 4. Разложение Шмидта.
Единственность разложения Шмидта Запутанность и число Шмидта Единственность разложения Шмидта для большого числа частиц Сингулярное разложение матрицы

Лекция 5. Оператор плотности как ансамбль состояний.
Выпуклая сумма операторов плотности Экстремальные точки выпуклого множества Совпадение экстремальных и граничных точек Неоднозначное представление оператора плотности Дополнение до чистого состояния Связь между пурификациями Квантовое стирание информации Тензорные диаграммы Композициональность тензорных диаграмм

Лекция 6. Тензорные диаграммы.
Нормировка и дуальность на языке тензорных диаграмм Транспонирование объектов Уравнение змейки и единичный оператор Свойство скольжения Чистое транспонирование Оператор обмена Двухчастичный оператор

Лекция 7. Диаграммное описание квантовых состояний.
Операция эрмитового сопряжения Описание двухчастичных систем Матрица оператора плотности в диаграммном виде Среднее значение наблюдаемой Эффект квантового стирания

Лекция 8. Протокол квантовой телепортации.
Протокол квантовой телепортации Ресурсное уравнение Преобразование Адамара Операция CNOT

Лекция 9. Протоколы квантовой коммуникации.
Схема протокола квантовой телепортации Протокол плотного кодирования Обмен запутанностью Изометрический оператор Связь между пьюрификациями

Лекция 10. Мажоризация в квантовой теории.
Связь между декомпозициями одного оператора плотности Бистохастическая матрица Доминантный признак Операторная мажоризация Выпуклые функции

Лекция 11. Неравенства для выпуклых функций и обоснование принципа Ландауэра.
Теорема 1 Энтропия Шеннона Монотонность относительной энтропии Теорема 2 Аналог второго начала термодинамики

Лекция 12. Мера близости квантовых состояний.
fidelity двух квантовых состояний Теорема Ульмана

Лекция 13. Теорема Ульмана и монотонность точности воспроизведения.
Теорема Ульмана (продолжение) Следствие теоремы Ульмана Свойства fidelity

Лекция 14. Квантовые измерения.
POVM измерения Опыт Штерна - Герлаха

Лекция 15. POVM - измерения и квантовые каналы.
POVM измерения для смешанных состояний Теорема Наймарка Квантовые каналы Свойства отображения супер-оператора Обратимость квантового канала

Лекция 16. Положительное отображение.
Представление Крауса для квантового канала Свойства положительного отображения Представление положительного отображения в диаграммном виде Пространство блочных матриц Матрица репрезентация положительного отображения

Лекция 17. Вполне положительное отображение.

Лекция 18. Матрица Чоя.
Матрица Чоя Сохранение следа положительного отображения Изоморфизм Чоя-Ямиолковского Представление Крауса для квантового канала

Лекция 19. Виды квантовых каналов.
Деполяризующий квантовый канал Декодирующий квантовый канал Амплитудно-денпдирующий квантовый канал

Лекция 20. Марковское приближение.
Эволюция открытой системы Оператор Луивилля