Курс «Интегральные уравнения и вариационное исчисление» читается студентам второго курса физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 4 семестре.  

Курс «Интегральные уравнения и вариационное исчисление» является достаточно сложным и включает ряд вопросов, трудных для усвоения студентами. Чтобы помочь студентам максимально быстро освоить необходимый материал, вначале коротко рассмотрен ряд вопросов теории линейных операторов в бесконечномерных нормированных пространствах.

В рамках курса рассмотрены интегральные уравнения, неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметричным и произвольными ядрами, уравнения Вольтерра 2-го рода, изучены задача Штурма-Лиувилля. Во второй части курса студенты знакомятся с вариационном исчислением, с понятием функционала, разбираются задача с закрепленными концами, задачи на условный экстремум (необходимое и достаточные условия), некорректно поставленные задачи. 

Список всех тем лекций

Лекция 1. Интегральные уравнения. Метрические, нормированные и евклидовы пространства..
Введение Метрические, нормированные и евклидовы пространства Нормированное пространство

Лекция 2. Элементы теории линейных операторов..
Евклидово пространство Элементы теории линейных операторов Собственное значение линейного оператора Непрерывный оператор Норма линейного оператора  Теорема, связывающая понятия ограниченности и непрерывности линейного оператора Ограниченная последовательность

Лекция 3. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряжённого оператора..
Компактность последовательности Вполне непрерывный оператор Теорема об операторе Фредгольма Сопряжённый оператор Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора

Лекция 4. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром..
Теорема о ненулевом собственном значении оператора Фредгольма Построение последовательности собственных значений и собственных векторов вполне непрерывного самосопряженного оператора Свойства ортогонального дополнения Теорема о собственных векторах самосопряженного оператора Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром Теорема о принадлежности вектора нуль-пространству самосопряженного оператора Построение последовательности ядер

Лекция 5. Интегральный оператор с вырожденным ядром. Теорема Гильберта-Шмидта..
Вырожденное ядро Теорема о собственных значениях интегрального оператора с непрерывным симметрическим вещественным ядром Примеры Теорема Гильберта-Шмидта n - мерный случай Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрическим непрерывным ядром

Лекция 6. Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрически непрерывным ядром..
Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрическим непрерывным ядром Резольвента Теорема о решении неоднородного уравнения в случае, если однородное уравнение Фредгольма имеет только тривиальное решение Теоремы о неподвижной точке Теорема (признак Вейерштрасса сходимости ряда) Уравнения Фредгольма 2-го рода с «малыми» λ

Лекция 7. Уравнения Вольтерра 2-го рода. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами..
Метод последовательных приближений Вопросы корректности математической постановки задачи решения уравнения Фредгольма для «малых» λ Уравнения Вольтерра 2-го рода Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами Теорема о решении уравнения Фредгольма в случае, если λ не является характеристическим числом 

Лекция 8. Уравнение Фредгольма 2-го рода с произвольными непрерывными ядрами. Теоремы Фредгольма..
Повторение конца предыдущей лекции Сопряженное (союзное) интегральное уравнение Теорема о разложении пространства Rn Теоремы Фредгольма Четыре теоремы Фредгольма Задача Штурма-Лиувилля

Лекция 9. Задача Штурма-Лиувилля. Теорема Стеклова..
Продолжение решения начально-краевой задачи для уравнения, описывающего малые поперечные колебания струны Задача Штурма-Лиувилля в общей постановке Теорема о кратности собственных значений задачи Штурма-Лиувилля Теорема о собственных функциях задачи Штурма-Лиувилля Теорема о собственных значениях задачи Штурма-Лиувилля Теорема Стеклова

Лекция 10. Вариационное исчисление. Понятие функционала. Задача с закреплёнными концами..
Введение Вариация функционала Определение вариации Теорема о необходимом условии экстремума Необходимое условие экстремума Основная лемма вариационного исчисления и примеры её использования

Лекция 11. Задачи на условный экстремум. Необходимое условие экстремума..
Задача из механики: получение уравнения движения из вариационных принципов Задачи на условный экстремум Изопериметрическая задача Теорема о необходимом условии экстремума для изопериметрической задачи с закрепленными концами Задачи с подвижной границей

Лекция 12. Достаточные условия экстремума в задаче с закреплёнными концами..
Условие трансверсальности Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Поле экстремалей Достаточное условие сильного (слабого) минимума Условие Лежандра

Лекция 13. Некорректно поставленные задачи. Метод регуляризации Тихонова..
Интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода Тихонова Классификация математических задач Тихонова

Лекция 14. Вторая теорема Тихонова..
Существование и единственность решения второй краевой задачи для уравнения Эйлера Лемма о равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности множества функций Следствие леммы Тихонова