Задача курса – познакомить слушателей с основными направлениями теории интегрируемых систем и смежных задач. В классической механике интегрируемые системы будут описаны как результат редукции свободного движения по групповым симметриям. Попутно будут введены стандартные конструкции уравнений Лакса, r-матричных структур, рассмотрены основные примеры. Естественным образом неавтономные обобщения интегрируемых систем будут связаны с уравнениями Пенлеве и системами Шлезингера. Также планируется объяснить, каким образом возникают солитонные уравнения и 1+1 интегрируемые иерархии. В заключительной части будет сделано введение в квантовые точно-решаемые модели. Основной их инструмент – квантовые R-матрицы и RTT-соотношения - решает и задачу квантования групп и алгебр Ли.
Список всех тем лекций
Лекция 1. Гамильтоновы векторные поля.
Введение
Механика частиц
Интегрируемые волчки
Упражнение 1
Описание произвольной гамильтоновой системы
Пример
Уравнение Гамильтона
Теорема Даргу
Скобка Пуассона-Ли
(функции Казимира)
Гамильтоновы векторные поля и их свойства
Симплектическая структура
Упражнение 4
Свойства сммплектической структуры
Лекция 2. Уравнения Лакса.
Повторение материала предыдущей лекции
Форма Кириллова-Константа
Оператор перестановки
Упражнение 1
Матрица перестановки
Свойства матричного оператора перестановки
Система взаимодействующих частиц
Лекция 3. Гамильтонова редукция системы Калоджеро.
Скобка Пуассона
Система Калоджеро (пример)
Отображение момента гамильтоновой редукции
Пример 1
Пример 2
Лекция 4. Многочастичные интегрируемые системы.
Система Калоджеро
Бесспиновая модель
Матрица Лакса
Афинизация
Лекция 5. Квадратичная r-матричная структура. Одномерный магнетик.
Класс систем, в которых лишь спиновые степени свободы
Система Годена
Матрица монодромии
Цепочка Гейзенберга
Магнитик Гейзенберга
Матрица Лакса
Лекция 6. Интегралы движения в 1+1 спиновой цепочке.
Магнетик Гейзенберга
Вычисление гамильтониана
Гамильтониан системы Калоджеро
Классический способ получения магнетика Гейзенберга
Лекция 7. Алгебры Хопфа.
Квантование групп
С-алгебра А
Коалгебра
Пример коалгебры
Биалгебра А
Обозначения Свидлера
Алгебра Хопфа
Свертка
Лекция 8. Группы Пуассона-Ли.
Алгебра Хопфа
Функция на матричной группе (пример 1)
Алгебра Хопфа универсальной обёртывающей алгебры Ли (пример 2)
Лекция 9. Векторные поля и пуассонова структура на группе Ли.
Скобки Пуассона на группе
Группы Пуассона-Ли
Векторные поля
Свойство Пуассона-Ли
Лекция 10. Пуассонова структура на группе Ли.
Свойство Пуассона-Ли
Когомологии групп Ли
Утверждение
Матричная группа
Уравнение Янга — Бакстера
Пример
Лекция 11. Q-деформация алгебры Хопфа.
Замечание по примеру в предыдущей лекции
Скобка Пуассона на группе SL2
Релятивистская цепочка Тода
Двойственность алгебры Хопфа на группе и алгебра Хопфа универсальной обёртывающей
Некоммуникативная деформация алгебры Хопфа на группе
R-матричное квантование
Лекция 12. Универсальная R-матрица.
Квантование алгебры функции на группе
Случай алгебры Ли
Утверждение 1
Квантовый дубль Дринфельда
Утверждение 2
Соотношение в алгебре Uq(Si2)
Лекция 13. Система Шлезингера и уравнения Книжника-Замолодчикова.
Модель Годена
Неавтономное обобщение модели Годена
Квантовая задача