Задача курса – познакомить слушателей с основными направлениями теории интегрируемых систем и смежных задач. В классической механике интегрируемые системы будут описаны как результат редукции свободного движения по групповым симметриям. Попутно будут введены стандартные конструкции уравнений Лакса, r-матричных структур, рассмотрены основные примеры. Естественным образом неавтономные обобщения интегрируемых систем будут связаны с уравнениями Пенлеве и системами Шлезингера. Также планируется объяснить, каким образом возникают солитонные уравнения и 1+1 интегрируемые иерархии. В заключительной части будет сделано введение в квантовые точно-решаемые модели. Основной их инструмент – квантовые R-матрицы и RTT-соотношения - решает и задачу квантования групп и алгебр Ли.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Гамильтоновы векторные поля.
Введение Механика частиц Интегрируемые волчки Упражнение 1 Описание произвольной гамильтоновой системы Пример Уравнение Гамильтона Теорема Даргу Скобка Пуассона-Ли (функции Казимира) Гамильтоновы векторные поля и их свойства Симплектическая структура Упражнение 4 Свойства сммплектической структуры

Лекция 2. Уравнения Лакса.
Повторение материала предыдущей лекции Форма Кириллова-Константа Оператор перестановки Упражнение 1 Матрица перестановки Свойства матричного оператора перестановки Система взаимодействующих частиц

Лекция 3. Гамильтонова редукция системы Калоджеро.
Скобка Пуассона Система Калоджеро (пример) Отображение момента гамильтоновой редукции Пример 1 Пример 2

Лекция 4. Многочастичные интегрируемые системы.
Система Калоджеро Бесспиновая модель Матрица Лакса Афинизация

Лекция 5. Квадратичная r-матричная структура. Одномерный магнетик.
Класс систем, в которых лишь спиновые степени свободы Система Годена Матрица монодромии Цепочка Гейзенберга Магнитик Гейзенберга Матрица Лакса

Лекция 6. Интегралы движения в 1+1 спиновой цепочке.
Магнетик Гейзенберга Вычисление гамильтониана Гамильтониан системы Калоджеро Классический способ получения магнетика Гейзенберга

Лекция 7. Алгебры Хопфа.
Квантование групп С-алгебра А Коалгебра Пример коалгебры Биалгебра А Обозначения Свидлера Алгебра Хопфа Свертка

Лекция 8. Группы Пуассона-Ли.
Алгебра Хопфа Функция на матричной группе (пример 1) Алгебра Хопфа универсальной обёртывающей алгебры Ли (пример 2)

Лекция 9. Векторные поля и пуассонова структура на группе Ли.
Скобки Пуассона на группе Группы Пуассона-Ли Векторные поля Свойство Пуассона-Ли

Лекция 10. Пуассонова структура на группе Ли.
Свойство Пуассона-Ли Когомологии групп Ли Утверждение Матричная группа Уравнение Янга — Бакстера Пример

Лекция 11. Q-деформация алгебры Хопфа.
Замечание по примеру в предыдущей лекции Скобка Пуассона на группе SL2 Релятивистская цепочка Тода Двойственность алгебры Хопфа на группе и алгебра Хопфа универсальной обёртывающей Некоммуникативная деформация алгебры Хопфа на группе R-матричное квантование

Лекция 12. Универсальная R-матрица.
Квантование алгебры функции на группе Случай алгебры Ли Утверждение 1 Квантовый дубль Дринфельда Утверждение 2 Соотношение в алгебре Uq(Si2)

Лекция 13. Система Шлезингера и уравнения Книжника-Замолодчикова.
Модель Годена Неавтономное обобщение модели Годена Квантовая задача