Страница курса: https://itmp.msu.ru/studentam/...

Динамика искривленного пространства-времени и взаимодействующих с ним полей материи описывается в терминах гравитационных теорий, степени свободы которых имеют геометрическую природу: метрика, кривизна, связность. Таковыми являются, например, общая теория относительности или теория супергравитации, являющаяся низкоэнергетическим приближением теории струн. Данный курс посвящен изучению геометрического описания гравитационных степеней свободы, соответствующих теорий и конкретных решений. В частности, мы обсудим геометрический смысл метрики, кривизны, кручения и связности; построим теорию относительности как локальную теорию группы Пуанкаре; получим конкретные решения в виде черных дыр и обсудим их самосогласованность; изучим размерную редукцию и получим 4d фотон из 5d гравитона.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Ковариантная производная. Геометрический смысл кривизны и кручения.
Ковариантная производная Параллельный перенос Геодезические Частица в гравитационном поле Геометрический смысл кривизны Геометрический смысл кручения Вариация действия с граничными условиями

Лекция 2. Тетрадная формулировка гравитации.
Внешняя кривизна Действие Гиббонса-Хокинга Тетрадная формулировка гравитации Геометрический смысл тетрады Примеры Связность, кручение и кривизна в терминах тетрад

Лекция 3. ADM-формализм. Соотношения Гаусса-Кодацци.
Гамильтонова формулировка ОТО Уравнения Гаусса-Кодацци Уравнение Эйнштейна через внешнюю кривизну Тетрадный формализм Формализм первого рода

Лекция 4. Нелинейная реализация симметрии.
Формализм Картана порядка Гравитация не является калибровочной теорией Нелинейная реализация симметрии Общая конструкция метрики на фактор-пространстве

Лекция 5. Гладкие многообразия.
Гладкое многообразие Пример (одномерная сфера) Пример 2 Атласы (определения) Теорема Связность многообразия Аффинное пространство Пример (многообразие матриц) Пример (многообразие Грассмана)

Лекция 6. Касательные векторы. Ковекторы.
Гладкое подмногообразие Пример Касательная кривая Кокасательное пространство

Лекция 7. Главные расслоения.
Базис в тензорном произведении касательных и кокасательных пространств Поток на многообразии Обратный образ тензорного поля Действие группы на многообразии Главное расслоение Эквивариантные отображения

Лекция 8. Ассоциированное расслоение. Сечение расслоения.
Главные расслоения Расслоение, ассоциированное с главным Пример 1 Пример 2 Сечение расслоения

Лекция 9. Связность в расслоении.
Склеивающий коцикл Связность в расслоении Параллельный перенос Классификация Бергера

Лекция 10. Комплексная геометрия.
Комплексное линейное пространство Эрмитово многообразие Кэлеров потенциал

Лекция 11. Кэлерово многообразие.
Связность Леви-Чивита на кэлеровом многообразии Символы Кристоффеля по отношению к базису Примеры кэлеровых многообразий Многообразие Калаби-Яу