Классическая теория Галуа преобразила средневековую алгебру – науку о решении уравнений – в современную. Занимаясь проблемой разрешимости уравнений в радикалах, французский математик Эварист Галуа (1811–1832) заложил основы теории групп и полей.

Итальянские математики XVI века (дель Ферро, Тарталья, Феррари) научились решать уравнения 3-й и 4-й степени. Их результаты привели к открытию комплексных чисел, а Франсуа Виет, вдохновлённый "Великим искусством" Джероламо Кардано, создал современную алгебраическую символику.

Общих формул для уравнений 5-й степени никто найти не мог, и лишь в начале XIX века Нильс Абель доказал, что общие уравнения степени ≥ 5 неразрешимы в радикалах; доказательство Паоло Руффини 1799 года содержало пробел. (Отметим, что в те же годы Гаусс разными способами доказал "основную теорему алгебры".) Руффини и Абель опирались на идеи Луи Лагранжа, который первый систематически исследовал перестановки корней уравнений и разработал теорию групп перестановок. Созданный Лагранжем метод резольвент решения уравнений универсальным не был, зато вплотную приблизил задачу к окончательному решению. Критерий разрешимости уравнений в радикалах установил Галуа, введя понятия группы, нормальной подгруппы, нормального расширения и разрешимой группы.Позднее идеи Галуа развивались и обобщались в разных направлениях и не только алгебраических.

Слушатель ознакомится с основными понятиями и результатами классической теории Галуа. Изложение будет сопровождаться большим числом примеров и задач. Курс рассчитан на слушателей, владеющих алгеброй в объёме первого семестра математических факультетов.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Уравнения степени меньше 5.
Структура курса Решение уравнения третьей степени Решение уравнения четвёртой степени Метод Лагранжа Поиск Лагранжем решения уравнения 5-ой степени Небольшое лирическое отступление

Лекция 2. Техника расширения полей.
Алгебраические числа Конечные расширения, связь с алгебраическими Сопряжённые числа: расширения, операции

Лекция 3. Построение правильного 17-угольника.
Поликвадратичные числа Построение правильных n-угольников с помощью комплексных чисел Простые числа Ферма Теорема Гаусса-Ванцеля Периоды Гаусса

Лекция 4. Теория периодов Гаусса.
Периоды Гаусса, доказательство теоремы Гаусса-Ванцеля (продолжение) Круговые расширения Теория периодов Гаусса Задачи

Лекция 5. Круговые многочлены, расширения полей, разложение многочленов.
Круговые многочлены Нормальные расширения Теорема Абеля-Руффини

Лекция 6. Теорема Абеля-Руффини.
Другое доказательство теоремы Руффини Доказательство теоремы Абеля Комментарий о содержании следующих лекций

Лекция 7. Теорема Кронекера.
Теорема Гаусса Теорема о связи радикального расширения и неприводимо-радикального Теорема Кронекера

Лекция 8. Группы Галуа.
Группы Галуа Современное представление о группах Галуа, примеры Теорема о примитивном элементе Обобщение результатов, полученных на лекции

Лекция 9. Расширение Галуа.
Группы Галуа конкретных многочленов Пример автоморфизма, подводящий к теореме о характеризации Таблица примеров групп Галуа для разных полей и расширений Теорема о характеризации расширения Галуа Теорема Артина

Лекция 10. Соответствие Галуа.
Поиск группы Галуа многочленов (примеры) Конечные поля Соответствие Галуа, примеры

Лекция 11. Соответствие Галуа.
Основная теорема теории Галуа Некоторые следствия из теоремы о соответствии "Как появились разрешимые группы?"

Лекция 12. Критерий разрешимости уравнений в радикалах.
Разрешимые группы Критерий разрешимости в квадратных радикалах Критерий Галуа

Лекция 13. Теорема Абеля-Галуа.
Теорема Гёльдера Критерий разрешимости неприводимых уравнений степени p Примеры вычисления групп Галуа

Лекция 14. Вычисления групп Галуа.
Примеры вычисления групп Галуа Вычисление группы Галуа многочленов Теорема Дедекинда