В курсе будет дано общее введение в несколько важных разделов математики: классическая теория Галуа, аффинная алгебраическая геометрия, в том числе, алгебраические группы и алгебры Хопфа, системы линейных дифференциальных уравнений. Все эти темы сольются воедино в дифференциальную теорию Галуа. В качестве одного из ее приложений будет рассказано, почему гауссов интеграл не берется в элементарных функциях. 

Курс рассчитан на широкую аудиторию студентов, начиная со второго курса, знакомых с общими понятиями алгебры. Изложение будет идти, преимущественно, на инвариантном, бескоординатном, языке. 

От слушателей потребуется: знание основных понятий алгебры (группы, кольца, идеалы), геометрии (гладкие многообразия, расслоения), анализа (дифференциальные формы, комплекс де Рама, голоморфные функции). 

Список всех тем лекций

Лекция 1. Расширения полей.
Конечные расширения Простые расширения Поле разложения

Лекция 2. Алгебраические и сепарабельные расширения.
Дополнения к прошлой лекции Алгебраические элементы Композит полей Алгебраическое замыкание поля Лемма Цорна

Лекция 3. Теория Галуа.
Дополнения к прошлой лекции Сепарабельные элементы Теорема о примитивном элементе Теория Галуа

Лекция 4. Расширения Галуа и Куммера.
Расширения Галуа Свойства расширений Галуа Соответствие Галуа Информация про НОЦ МИАН Круговые расширения Расширения Куммера Теорема Гильберта 90

Лекция 5. Теорема Гильберта 90. Разрешимость в радикалах.
Теория Куммера Теорема Гильберта 90 Лемма Артина о характерах Назад к Куммеру Теория Артина-Шрейера Решение в радикалах

Лекция 6. Аффинные алгебраические многообразия.
Композит с расширением Галуа Разрешимость радикалов Аффинные алгебраические многообразия Теорема Гильберта о нулях Доказательство теоремы Гильберта о нулях

Лекция 7. Теорема Гильберта о нулях. Идеалы в кольце многочленов.
Напоминание Доказательство теоремы Гильберта о нулях Идеалы многообразия Топология Зарисского Неприводимость многообразий

Лекция 8. Морфизмы между многообразиями.
Напоминание и дополнение Размерность Степень трансцендентности расширения поля Функции и морфизмы Изоморфизм Теорема Шевалле о конструктивности образа Произведение многообразий

Лекция 9. Произведение многообразий. Лемма Йонеды.
Произведение многообразий Введение в теорию категорий Лемма Йонеды Функторы Морфизмы функторов Лемма Йонеды

Лекция 10. Аффинные алгебраические группы.
Дополнение к прошлой лекции Определения и примеры (аффинные алгебраические группы) Теорема об образе Теорема о вложении Алгебра Хопфа

Лекция 11. Теорема о вложении.
Коалгебры Комодули Регулярный комодуль Лемма о конечномерности Теорема о вложении

Лекция 12. Дифференциальная теория Галуа.
Дифференциальные поля и кольца Дифференциальный модуль Связь с дифференциальными операторами Расширение Пикара-Вессио Дифференциальная теория Куммера и Артина-Шрейера