Теория групп и алгебр Ли – красивая классическая теория, имеющая множество приложений, особенно в современных физических теориях. В курсе будут изложены основы теории групп и алгебр Ли над полями R и C.

Концепция группы Ли сочетает две фундаментальные идеи математики и естествознания – непрерывности и симметрии. Теория групп Ли основана на взаимодействии глобального подхода с инфинитезимальным, который сводит многие вопросы к изучению линейных структур – алгебр Ли. Систематическому развитию теории Ли посвящен данный курс.

Страница курса: https://fmmp.math.msu.ru/cours...

Страница курса: http://halgebra.math.msu.su/wi...

Список всех тем лекций

Семинар 1. Примеры групп Ли.
Упражнение 1 Пример Симплектическая группа Унитарная группа

Семинар 2. Связность и компоненты связности.
Задача (из домашнего задания) Задача (из домашнего задания) Связность Связность симплектической группы

Семинар 3. Алгебры Ли.
Разбор задач из домашнего задания Классические матричные группы Пример группы Ли

Семинар 4. Свойства экспоненциального отображения.
Разбор задач из домашнего задания Свойства экспоненциального отображения

Семинар 5. Глобальное свойство экспоненциального отображения для конкретных групп Ли.
Разбор задач из домашнего задания Глобальное свойство экспоненциального отображения для конкретных групп Ли Пример

Семинар 6. Экспоненциальное отображение для группы SL(2, R) над полем действительных чисел. Теорема Картана.
Разбор задачи из домашнего задания Экспоненциальное отображение для группы SL(2, R) над полем действительных чисел Теорема Картана

Семинар 7. Гомоморфизм и линейное представление групп Ли.
Теорема Картана Разбор задачи из домашнего задания Задача 1 Задача 2

Семинар 8. Связь между представлениями групп Ли и алгебр Ли.
Разбор задач из домашнего задания Пример (плотная обмотка тора) Задача

Семинар 9. Гомоморфизм и линейное представление групп Ли.
Разбор задач из домашнего задания Задача 1 Задача 2 Многообразие Грассмана

Семинар 10. Гомотопические методы в теории групп Ли.

Семинар 11. Группа SL2(R).

Семинар 12. Форма Киллинга.

Семинар 13. Представление SLn.