Курс посвящен методу форсинга, или вынуждения. Без этого метода в современной математике совершенно невозможно обойтись, поскольку многие фундаментальные проблемы (такие как первая проблема Гильберта о континуум-гипотезе, проблема Суслина о топологической характеризации пространства вещественных чисел, проблема Уайтхеда о свободных группах и многие другие) долгое время оставались нерешенными именно потому, что они в принципе не могут быть решены в рамках аксиом ZFC теории множеств, лежащих в фундаменте всей современной математики. 

Метод форсинга был изобретен для решения проблемы истинности континуум-гипотезы (о (не)существовании несчетного множества, мощность которого строго меньше мощности вещественной прямой), однако впоследствии выяснилось, что это универсальный метод построения моделей теории множеств, в которых верны те или иные утверждения, многие из которых будут обсуждаться на спецкурсе. 

В курсе метод будет изложен «с нуля», но со строгим обоснованием. В качестве несложной иллюстрации будет полностью со всей строгостью доказана недоказуемость и неопровержимость континуум-гипотезы, после чего будут доказаны общие теоремы о границах применимости метода и приведены дальнейшие примеры его применения. 

Часть спецкурса будет посвящена открытым проблемам, включая те, решением которых занимается автор в настоящее время. Никаких предварительных знаний не требуется.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Аксиомы ZFC.
Введение Определение формальной системы Логика первого порядка Модели Аксиомы ZFC

Лекция 2. Ординалы и кардиналы. Упорядоченные множества.
Порядок на множестве Теорема об изоморфизме Ординалы Трансфинитная индукция и рекурсия Теорема Цермело и лемма Цорна Кардиналы Континуум-гипотеза Иерархия фон Неймана Понятие модели теории

Лекция 3. Универсум фон Неймана. Модели. Абсолютные и релятивизованные формулы.
Кумулятивная иерархия фон Неймана Теорема фон Неймана Релятивизация формул, модель теории множеств Абсолютные формулы Генерическое расширение

Лекция 4. Имена и интерпретации. Определение генерического расширения модели ZFC как множества интерпретаций.
Генерическое множество Генерическое расширение Построение модели, в которой CH неверна Имена и интерпретации Примеры Свойства M[G] для CTM M Вынуждение

Лекция 5. Основные положения форсинга.
Основная теорема (определимости и истинности) ZFC в M[G] Первая теорема о сохранении кардиналов Лемма о дельта-системе Совместимость континуум-гипотезы

Лекция 6. Доказательство основных положений форсинга. Гипотеза Суслина о существовании линейно упорядоченного несепарабельного топологического пространства со свойством Суслина.
Доказательство непротиворечивости CH Гипотеза Суслина Топологические произведения и свойство Суслина Свойства прямой Суслина Аксиома Мартина

Лекция 7. Комбинаторные следствия аксиомы Мартина.
Непротиворечивость MA и отрицания CH Малые кардиналы Теорема Буса Применение ультрафильтров Теорема Рамсея и рамсеевские ультрафильтры Гипотеза Лузина Гипотеза Бореля и лузинские множества

Лекция 8. Существование несчетных лузинских множеств и несчетных множеств внешней меры нуль.
Гипотеза Бореля и лузинские множества (продолжение) Существование лузинских множеств при отрицании CH Канторово множество Доказательство теоремы (построение лузиновского множества в канторовом множестве) Следствия теоремы Принцип Йенсена

Лекция 9. Принцип Йенсена.
Существование лузинских множеств при отрицании CH (повторение) Принцип Йенсена Деревья и свойство Суслина Построение дерева Суслина

Лекция 10. Фильтр club(k) и измеримые кардиналы.
Фильтр club(k) Теорема (k-полнота фильтра club(k)) Теорема (о диагональном пересечении) Теорема Улама Лемма Фодора Измеримые кардиналы

Лекция 11. Проблема существования экстремально несвязных групп.
Категории Булевы алгебры и пространства Стоуна Экстремально несвязные пространства Экстремально несвязные группы Незамкнутые дискретные множества в группах Несчётные экстремально несвязные группы

Лекция 12. Итерированный форсинг. Теорема Истона. Булевозначные модели.
Булевы алгебры и пространства Стоуна (повторение) Булевозначные модели Построение булевозначной модели M^B Факторизация по ультрафильтру При чём тут вынуждение Итерированный форсинг