Вторая часть курса "Уравнения математической физики", читающаяся на механико-математическом факультете в 6 семестре

Список всех тем лекций

Лекция 1. Волновое уравнение.
Пара слов о курсе Волновое уравнение Характеристические направления уравнений Лапласа и теплопроводности Характеристические направления волнового уравнения Характеристические конусы Теорема о невозрастании функционала энергии

Лекция 2. Задачи для волнового уравнения.
Повторение прошлой лекции Условия Дирихле, Неймана и третье краевое условие Постановка задачи Коши для волнового уравнени в конусе Единственность решения задачи Коши для волнового уравнения в конусе Постановка задачи Коши для волнового уравнени в верхнем полупространстве Единственность решения задачи Коши для волнового уравнения в верхнем полупространстве Смешанная краевая задача для волнового уравнения в цилиндре Единственность решения смешанной краевой задачи для волнового уравнения в цилиндре Решение смешанной краевой задачи для волнового уравнения методом Фурье Пара слов о решении задачи Коши для волнового уравнения

Лекция 3. Формулы Кирхгофа и Пуассона.
Вывод явного вида решения задачи Коши для волнового уравнения в трёхмерном случае (формулы Кирхгофа) Существование и единственность решения задачи Коши для волнового уравнения в трёхмерном случае Существование и единственность решения задачи Коши для волнового уравнения в двумерном случае Пара слов об одномерном случае: вывод формулы Даламбера

Лекция 4. Уравнение теплопроводности.
Уравнение теплопроводности Вывод уравнения теплопроводности Первая краевая задача для уравнения теплопроводности Остальные краевые задачи для уравнения теплопроводности и их физический смысл Альтернативная запись краевых условий первой краевой задачи для уравнения теплопроводности Принцип максимума Единственность решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности Непрерывная зависимость решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности от начальных условий Принципы сравнения решений первых краевых задач для уравнения теплопроводности

Лекция 5. Задача Коши для уравнения теплопроводности.
Вступительные слова Повторение прошлой лекции Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности в слое Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в классе ограниченных в слое функций Свойства фундаментального решения Анализ интеграла Пуассона О задачах на тему данной лекции

Лекция 6. Фундаментальное решение оператора Лапласа.
Эллиптические уравнения Основное уравнение электростатики Виды краевых задач для эллиптических уравнений Понятие корректности задачи Пример Адамара Примеры гармонических функций Условия Коши-Римана Первая и вторая формулы Грина Теорема о потоке Фундаментальное решение оператора Лапласа

Лекция 7. Принцип максимума для гармонических функций.
Повторение прошлой лекции Сумма трёх потенциалов Теоремы о среднем Строгий принцип максимума

Лекция 8. Краевые задачи в ограниченной области.
Повторение прошлой лекции Задача Дирихле Задача Дирихле для уравнения Лапласа Задача Дирихле для уравнения Пуассона Задача Неймана - единственность Задача Неймана - разрешимость Третья краевая задача Лемма Хопфа-Олейник

Лекция 9. Функция Грина задачи Дирихле.
Функция Грина Представление решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона с помощью функции Грина Симметрия функции Грина Построение функции Грина шара Формула Пуассона Обоснование формулы Пуассона

Лекция 10. Свойства гармонических функций.
Свойства гармонических функций Оценки производных гармонических функций Теорема Лиувилля Аналитичность гармонических функций Формула Стирлинга Неравенство Харнака Вторая формулировка теоремы Лиувилля Теорема об устранимой особенности

Лекция 11. Внешние задачи.
Задачи в ограниченной области Неограниченная область Внешние задачи Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа при n>=3 Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа при n=2 Условие леммы Хопфа-Олейник Преобразование Кельвина Заключение к курсу