Спецкурс для студентов 1–6 курсов

Список всех тем лекций

Лекция 1. Гладкие кривые, гладкие поверхности, теорема классификации двумерных многообразий.
Рекомендации по учебным материалам, ссылка на конспекты лекций Регулярные кривые на плоскости Локальная регулярная поверхность Гомеоморфизм и диффеоморфизм Отличие гладкости от непрерывности Погружение и вложение Теорема классификации двумерных поверхностей

Лекция 2. Теорема классификации двумерных многообразий.
Продолжение доказательства теоремы классификации двумерных поверхностей

Лекция 3. Завершение доказательства теоремы классификации двумерных многообразий. Теорема Уитни.
Завершение доказательства теоремы классификации Минимальные триангуляции двумерных многообразий Упражнение 1 Упражнение 2 Упражнение 3 Упражнение 4 k-мерные гладкие поверхности в n-мерном евклидовом пространстве Теорема Уитни

Лекция 4. Гладкие многообразия, заданные с помощью атласа.
Определение n-мерного многообразия Непрерывные и гладкие многообразия Теорема Уитни Примеры гладких многообразий

Лекция 5. Расслоение Хопфа. Проблема классификации многообразий. Клеточные комплексы.
Расслоение Хопфа Структура гладкого многообразия на проективном пространстве Проблема классификации многообразий Определение клеточного пространства Гомотопия и гомотопическая эквивалентность Примеры клеточных комплексов

Лекция 6. Степень отображения и ее применение в топологии и геометрии.
Степень гладкого отображения Степень непрерывного отображения гладких многообразий Свойства степени отображения и примеры вычисления Определение границы клетки в клеточном комплексе с помощью степени отображения K-мерные гомологии клеточного пространства

Лекция 7. Группы гомологий и их применение.
Общие свойства группы гомологий Простейшие примеры групп гомологий Завершение доказательства теоремы классификации Эйлерова характеристика Теорема Брауэра

Лекция 8. Симплициальные гомологии. Фундаментальная группа топологических пространств.
Ретракция Виды гомологий Симплициальные гомологии Степень непрерывного отображения Зависимость от отмеченной точки Накрытия

Лекция 9. Элементы теории накрытий. Связь с фундаментальной группой.
Примеры накрытий Теорема о накрывающей гомотопии Группа накрытия Существование и классификация накрытий Эйлерова характеристика накрытия

Лекция 10. Приложения теории накрытий. Элементы теории Морса.
Теорема ван Кампена Подгруппа свободного произведения групп Разветвленные накрытия Плоскость Лобачевского как универсальное накрытие над сферой с g ручками Точка Морса Лемма Морса

Лекция 11. Основные свойства функции Морса на многообразиях.
Примеры критических точек Общие свойства функции Морса Шаги 1, 2, 3

Лекция 12. Теорема Морса. Теория Морса для двумерных многообразий.
Операция "приклеивание ручки" Теорема Морса Граф Риба функции Морса на двумерном многообразии "Атомы" и "Молекулы"

Лекция 13. Элементы теории "атомов" и "молекул".
Послойная эквивалентность. Примеры атомов и их реализация.