Семестровый спецкурс «Элементы теории гомологий» предназначен для студентов-бакалавров 2-4 курсов факультета ВМК, для студентов-специалистов факультетов мех-мат, космических исследований, фундаментальной физико-химической инженерии, а также для студентов, магистрантов и аспирантов других факультетов МГУ. 

Он посвящен вводным разделам теории гомологий. Рассматриваются понятия алгебраического цепного комплекса, точные последовательности цепных комплексов. Изучается построение теории симплициальных гомологий, а также сингулярная теория гомологий, клеточные структуры пространств. Вводятся понятия гомологической степени отображения, Эйлеровой характеристики пространства, числа Лефшеца симплициального отображения. Рассматривается приближение непрерывного отображения симплициальным отображением и вводится понятие числа Лефшеца непрерывного отображения. Доказываются теоремы о неподвижных точках отображений. Приводится ряд примеров и следствий из основных теорем.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Алгебраический цепной комплекс.
Вводное слово о курсе Понятие группы Коммутативная (абелева) группа Гомоморфизм групп Алгебраический цепной комплекс (понятие) Фактор-группа Примеры Гомологичные циклы Подкомплекс алгебраического цепного комплекса

Лекция 2. Гомоморфизм двух алгебраических цепных комплексов. Гомология симплициальных комплексов.
Подкомплекс алгебраического цепного комплекса Гомоморфизм двух алгебраических цепных комплексов Точная последовательность гомоморфизмов (определение и пример) Задача (доказать 5-лемму (лемма Стинрода)) Построение связывающего гомоморфизма и длинной гомологической последовательности пары алгебраических цепных комплексов Теорема (последовательность гомоморфизмов является точной в каждом члене) n-мерный симплекс (определение) n-мерный (конечный) симплициальный комплекс (понятие)

Лекция 3. Гомология симплициальных комплексов.
Компактный полиэдр Напоминание изученных понятий и определений Триангуляция топологического пространства Примеры триангуляций полиэдров n-мерный симплекс Ориентация симплекса Граница симплекса Построение алгебраического цепного комплекса для заданного симплициального комплекса Граничный гомоморфизм Группы симплициальных гомологий комплекса К Геометрический смысл циклов и границ в симплициальном комплексе и его цепном комплексе Пример Гомология конкретного симплициального комплекса

Лекция 4. Точная последовательность Майера-Виеториса.
Гомология конкретного симплициального комплекса Лемма 1 Вложение конечного n-мерного симплициального комплекса в пространстве R^2n-1 Гомологии сфер Точная последовательность Майера-Виеториса Пример применения последовательности Майера-Виеториса Задача (составить последовательности Майера-Виеториса и вычислить группу гомологии цилиндра, склеенного из двух квадратов)

Лекция 5. Теория сингулярных гомологий. Часть 1.
Вычисление симплициальных гомологий тора Тор с геометрической точки зрения Гомология вещественного проективного пространства Об ориентации двумерных замкнутых многообразий Неориентированные поверхности Барицентрическое подразделение симплекса Задача (о барицентре) Барицентрическое подразделение симплициального комплекса Замечание (о мелкости барицентрического подразделения)

Лекция 6. Теория сингулярных гомологий. Часть 2.
Барицентрическое подразделение симплициального комплекса (повторение материала предыдущей лекции) Симплициальное отображение Гомоморфизм групп цепей Функтор симплициальных гомологий Теория сингулярных гомологий Грани и границы сингулярного симплекса Сингулярные цепи Сингулярные гомологии точки Гомоморфизмы групп сингулярных гомологий Понятие гомотопии и цепной гомотопии в сингулярной теории гомологии

Лекция 7. Цепная гомотопия.
Повторение материала предыдущей лекции Понятие цепной гомотопии Теорема (связь цепной гомотопии и обычной гомотопии) Примеры Теорема (если два цепных гомоморфизма цепно гомотопны, то они индуцируют одинаковые гомоморфизмы в сингулярной гомологии)

Лекция 8. Вопросы сингулярной теории гомологий.
Барицентрическое подразделение сингулярных симплексов Теорема (о барицентрическом подразделении сингулярных симплексов) Точные последовательности пары топологических пространств и Майера-Виеториса в теории сингулярных гомологий Существование последовательности Майера-Виеториса для сингулярных гомологий Отображение вырезания Аксиомы теории гомологий

Лекция 9. Аксиомы теории гомологий. Элементы теории когомологий.
Теория гомологий (понятие) Аксиома гомотопии Аксиома точности Аксиома вырезания Аксиома размерности Теорема Стинрода-Эйленберга Теорема (об изоморфности) Следствия из теоремы Стинрода-Эйленберга Экстраординарные теории гомологий Алгебраический коцепной комплекс Кограничный гомоморфизм Кольцо когомологий Свойство чашечки-произведения

Лекция 10. Гомологическая степень отображения сфер.
Свойство чашечка-произведения Гомологическая степень отображения сфер Свойства гомологической степени отображения сфер

Лекция 11. Характеристика векторного поля. Индекс изолированной особой точки векторного поля.
Постановка задачи Свойства характеристики векторного поля Индекс изолированной особой точки векторного поля Характеристика векторного поля на границе области

Лекция 12. Клеточный комплекс и его гомологии.
Замечания к предыдущей лекции (теорема о сумме индексов) Клеточный комплекс (понятие) Примеры Цепной комплекс Граничный гомоморфизм в клеточном комплексе Клеточные гомологии Пример пространства, не являющегося клеточным комплексом Теорема (о гомологиях клеточного комплекса) Эйлерова характеристика и число Лефшеца симплициального отображения Теорема о неподвижной точке

Лекция 13. Эйлерова характеристика и число Лефшеца.
Вычисление числа Лефшеца для отображения сферы в себя Эйлерова характеристика Теорема Лебега Теорема о симплициальной аппроксимации Число Лефшеца непрерывного отображения Свойство числа Лефшеца Теорема Лефшеца о неподвижной точке