Это вторая часть курса дифференциальной геометрии (первая - "Классическая дифференциальная геометрия"), в которой рассматривается тензорный анализ на многообразиях, теория интегрирования дифференциальных форм, теория гомологий и когомологий.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Тензоры. Тензорные поля. Операции над тензорами.
Список литературы и ссылка на материалы Операции над тензорами Примеры тензоров Общее определение тензорного поля на гладком многообразии Простейшие свойства закона преобразования тензоров Тензорное поле как полилинейное отображение Базис в пространстве тензоров типа (p,q) В чём роль тензоров? Примеры тензорных полей в физике и механике Связь между тензором малой деформации и напряжения Основные операции над тензорными полями

Лекция 2. Алгебраические операции над тензорами. Понятие объема на римановых многообразиях.
Алгебраические операции над тензорами Умножение тензорных полей Свёртка Поднятие и опускание индексов Симметрирование и альтернирование Понятие объема области на римановом многообразии

Лекция 3. Объем. Кососимметричные тензорные поля. Внешние дифференциальные формы.
Частные случаи объема Кососимметричные тензорные поля и объем Кососимметричный тензор максимального ранга Связь с объемом Внешняя алгебра Внешние дифференциальные формы на многообразии Канонический вид формы Зачем нужны формы? Внешний дифференциал форм

Лекция 4. Внешнее дифференцирование. Алгебра когомологий.
Внешнее дифференцирование Внешняя форма как функционал Свойства внешнего дифференцирования Алгебра когомологий гладкого многообразия Понятие гомотопии теоремы Примеры подсчета когомологий

Лекция 5. Когомологии и дифференциальные уравнения.
Когомологии и дифференциальные уравнения Операция (*) на дифференциальных формах Теорема Стокса

Лекция 6. Теорема Стокса и её следствие.
Теорема Стокса и её следствие Ограничение формы на край Теорема Стокса Частный случай формулы Стокса Геометрический смысл дивергенции

Лекция 7. Приложения формулы Стокса. Ковариантное дифференцирование.
Геометрический смысл дивергенции Формула Коши (еще одно приложение формулы Стокса) Ковариантное дифференцирование

Лекция 8. Ковариантное дифференцирование. Параллельный перенос.
Ковариантное дифференцирование Общее понятие аффинной связности (ковариантного дифференцирования) на любом многообразии Аксиоматика связности Римановы связности Параллельный перенос Неформальные сведения о параллельном переносе Параллельный перенос в аффинной связности Уравнение параллельного переноса Как параллельно перенести вектор вдоль пути? Свойства параллельного переноса

Лекция 9. Параллельный перенос. Геодезические поверхности.
Параллельный перенос в римановой связности Геометрический смысл символа Кристоффеля Геодезические Параллельный перенос в римановой связности на двумерном многообразии Примеры геодезических

Лекция 10. Геодезические. Кривизна многообразий.
Где встречаются геодезические? Примеры параллельного переноса Теорема о группе изометрий Тензор кривизны Римана Определение тензора кривизны Римана

Лекция 11. Свойства тензора кривизны Римана.
Геометрический смысл Инвариантное определение тензора кривизны Алгебраические свойства тензора кривизны Симметрия тензора кривизны в координатной записи Применение тензора кривизны

Лекция 12. Скалярная кривизна. Степень отображения.
Скалярная кривизна Уравнение Эйнштейна – Гильберта в общей теории относительности Степень гладкого отображения Определение степени

Лекция 13. Степень отображения. Приложения.
Продолжение доказательства теоремы о степени Степень комплексного отображения Приложения степени

Лекция 14. Индекс векторного поля. Приложения.
Формула Гаусса - Бонне (продолжение) Индекс векторного поля на многообразии Теорема о еже

Лекция 15. Примеры особых точек векторных полей. Уравнения Эйлера - Лагранжа.
Примеры особых точек векторных полей Уравнения Эйлера - Лагранжа Функции Морса Понятие функционала Экстремальность минимальных поверхностей

Лекция 16. Экстремальность геодезических и минимальных поверхностей.
Экстремальность геодезических Минимальные поверхности как экстремали функционала объема (площади)