В курсе основные структуры дифференциальной геометрии проиллюстрированы примерами из механики, теории поля, общей теории относительности и теории струн.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Мотивация и определение дифференцируемого многообразия.
Объект изучения дифференциальной геометрии Конфигурационное пространство Фазовое пространство Многообразие как поверхность в R^n Примеры многообразий Теорема о неявной функции Топологическое пространство Изоморфизм топологических пространств Задачи

Лекция 2. Дифференцируемые отображения.
Повторение прошлой лекции Многообразия Дифференцируемые отображения

Лекция 3. Векторы, векторные поля.
Задачи Векторные поля Тождество Лейбница

Лекция 4. Поведение векторных полей на многообразиях.
Векторные поля Коммутатор векторных полей Ковекторные поля Интегральные кривые

Лекция 5. Однопараметрические группы преобразований, тензорные поля, дифференцирование Ли.
Семейства отображений, генерируемых векторными полями Задача о некоординатном базисе Группы

Лекция 6. Производная Ли.
Некоординатный базис для векторного поля Дифференцирование одного векторного поля по другому

Лекция 7. Дифференциальные формы.
Дифференциальные формы

Лекция 8. Дифференциальные формы (продолжение).
Дифференциальные формы Дифференциал де Рама Инвариантная формула дифференциала де Рама

Лекция 9. Комплекс де Рама, интегрирование и ориентация.
Гомология де Рама Лемма Пуанкаре

Лекция 10. Пример топологической теории: теория Черна-Саймонса.
Теорема Стокса Доказательство теоремы Стокса Применения в физике

Лекция 11. Тензоры, метрика.
Производная Ли дифференциальных форм Тензоры

Лекция 12. Расслоения.
Расслоенные пространства Векторное расслоение

Лекция 13. Связность, кривизна.
Связность Кривизна

Лекция 14. Кривизна (продолжение).
Главная геометрическая мотивация для связности Кривизна