Список всех тем лекций

Лекция 1. Теория кривых.
Организационные моменты Введение Теория кривых Кривые Пеано Гладкие кривые Регулярные параметрические кривые Кривые графики Лемма Неявно заданные кривые Теорема о локальной эквивалентности способов задания кривых Следствие из теоремы Длина кривой Натуральный параметр Плоские кривые

Лекция 2. Плоские и пространственные кривые.
Кривизна натурально параметризованной кривой Определение главной нормали и бирегулярных кривых Формулы Френе Ориентированные формулы Френе Теорема о восстановлении кривой по ее кривизне Пространственные формулы Френе Вычисление репера Френе в произвольной параметризации Начало доказательства

Лекция 3. Поверхности.
Повторение основных моментов прошлой лекции Доказательство теоремы о восстановлении кривой по кривизне Замена параметризации Поверхность-график Неявные регулярные поверхности Локальная эквивалентность способов задания поверхности Отображения поверхностей

Лекция 4. Первая фундаментальная форма.
Повторение основных моментов прошлой лекции Как считать длину кривой на поверхности? Касательное пространство к поверхности Дифференциал Первая фундаментальная форма Длины кривых и углы между кривыми Изометрия

Лекция 5. Вторая фундаментальная форма.
Повторение прошлой лекции Поле нормалей Вторая фундаментальная форма Плоские сечения Главные кривизны и главные направления Инварианты пары форм

Лекция 6. Элементы дифференциального исчисления на поверхностях.
Повторение прошлой лекции Теорема Пуассона Теорема Бонне Векторные поля на поверхностях Уравнения Гаусса Теорема Гаусса Ковариантное дифференцирование касательных векторных полей

Лекция 7. Геодезические кривые на поверхностях.
Повторение прошлой лекции Производная вдоль кривой Геодезические кривые на поверхности Поверхности вращения Теорема Клеро

Лекция 8. Криволинейные координаты в области и на поверхности.
Криволинейные координаты в области Касательное пространство к области Замены координат Евклидова метрика в криволинейных координатах Криволинейные координаты на поверхности Стереографические координаты на сфере Римановы и псевдоримановы метрики в области

Лекция 9. Риманова и псевдориманова метрики.
Билинейные формы на поверхности Псевдоевклидово пространство Стереографическая проекция псевдосферы

Лекция 10. Геометрия Лобачевского.
Геометрия Лобачевского Модель Пуанкаре Модель Клейна Дробно-линейные преобразования плоскости Метрика в комплексном виде Модель в верхней полуплоскости

Лекция 11. Топологические пространства и непрерывные отображения.
Топология Внутренность и замыкание Непрерывные отображения Отношение эквивалентности Связность

Лекция 12. Классы топологических пространств.
Повторение прошлой лекции Свойства замкнутых множеств в топологическом пространстве Связность Линейно связное топологическое пространство Аксиомы отделимости Компактность

Лекция 13. Многообразия.
Топологические многообразия Отображение топологических многообразий Задание многообразий уравнениями

Лекция 14. Касательное пространство к многообразию, дифференциал.
Повторение прошлой лекции Тензорное определение касательного вектора Геометрическое определение касательного вектора Дифференциальное определение касательного вектора Дифференциал гладкого отображения

Лекция 15. Вложения многообразий в евклидово пространство. Дополнительные структуры: риманова метрика, ориентируемость.
Понятия погружение, вложение и подмногообразие Теоремы о вложении Риманова метрика, риманово многообразие Эквивалентное определение римановой метрики Длины и углы Индуцированная метрика Ориентируемые и неориентируемые многоообразия Перенос ориентации вдоль кривых