Курс лекций по дифференциальным уравнениям, включающий в себя классические результаты этой теории.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Основные понятия.
Значение дифференциальных уравнений Предметная и математическая постановки задачи Определение дифференциального уравнения Определение обыкновенного дифференциального уравнения Линейное дифференциальное уравнение первого порядка Линейное однородное уравнение первого порядка Общее решение однородного дифференциального уравнения Теорема о единственности представления решения Корректно поставленная задача по Адамару Задача Коши Линейное неоднородное уравнение первого порядка Общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Лекция 2. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
Условие 1: теорема Вейерштрасса Условие 2: условие Липшица Локальная формулировка теоремы Доказательство теоремы

Лекция 3. Подразделы теоремы сравнения и метод дифференциальных неравенств.
Повторение прошлой лекции Глобальная формулировка теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши Пример применения локальной формулировки теоремы Расширение множества на котором решение существует и единственно Теорема Чаплыгина о дифференциальных неравенствах Определение нижнего решения Определение верхнего решения Теорема существования и единственности задачи Коши в формулировке Чаплыгина Подгоняем условия теоремы под глобальную формулировку задачи Коши

Лекция 4. Теорема существования и единственности для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
уравнений Понятие нормы вектора Условия для выполнения теоремы Локальная формулировка теоремы Банаховы пространства Понятие неподвижной точки Сжимающий оператор

Лекция 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка.
Линейное дифференциальное уравнение n-ого порядка Дополнительные условия для выделения единственного решения Краткая запись уравнения Теорема о принципе суперпозиции Следствия Линейно зависимые и независимые функции Определитель Вронского Теорема об определителе Вронского для линейно зависимых функций Теорема об определителе Вронского для линейно независимых функций Следствие Теорема о существовании фундаментальной системы решений

Лекция 6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-ого порядка.
Повторение предыдущей лекции Теорема об общем решении неоднородного дифференциального уравнения Поиск решения с помощью функции Коши условиями Функция Коши Теорема (вид решения неоднородной задачи Коши с однородными граничными условиями) Линейные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами Метод Эйлера

Лекция 7. Системы линейных дифференциальных уравнений.
Линейные системы дифференциальных уравнений Однородная система Теорема  Теорема  Понятия линейной зависимости и независимости решений Теорема (об определителе Вронского системы линейно независимых решений системы) Теорема (о решениях однородной системы) Теорема (о произвольном решении однородной системы) Как найти линейно независимые решения системы Теорема (о произвольном решении неоднородной системы)

Лекция 8. Краевые задачи.
Однородная краевая задача и неоднородная краевая задача Тождества Лагранжа Теорема (об однородной краевой задаче) Теорема (единственность решения)

Лекция 9. Функция Грина.
Краевые задачи (повторение материала предыдущей лекции) Функция Грина краевой задачи (определение) Теорема (о существовании функции Грина) Алгоритм построения функции Грина Теорема Теорема (о единственности функции Грина) Анонс следующей лекции

Лекция 10. Основы теории устойчивости.
Основные определения и постановка задачи Устойчивость тривиального решения однородной системы дифференциальных линейных уравнений Лемма 1 Лемма 2 Лемма 3 Анонс следующей лекции

Лекция 11. Основы теории устойчивости (продолжение).
Повторение Классификация точек покоя Задача (оценка решения) Пример

Лекция 12. Основы решения уравнений в частных производных.
Пример (первый интеграл) (первый интеграл) Задача Коши (для двумерного случая) Обобщение на многомерный случай Резюме лекции

Лекция 13. Приближенные методы решения ОДУ и их систем. Численные методы решения.
Задача Коши для ОДУ 1-го порядка Задача (о моделировании движения тела, брошенного под углом к горизонту в поле тяжести, с учётом сопротивления воздуха) Реализация схемы на практике Анонс следующей лекции

Лекция 14. Семейство схем Рунге-Кутты.
Метод решения задачи Коши (повторение материала предыдущей лекции) Одностадийная схема Рунге-Кутты Двухстадийная схема Рунге-Кутты Связь количества стадий с порядком точности Процедура автономизации Пример

Лекция 15. Жёсткие системы ОДУ и особенности их решения.
Пример (постановка задачи) Первый подход к решению жестких систем Общий случай Второй подход к решению жестких систем Семейство одностадийных схем Розенброка-Ваннера

Лекция 16. Дифференциально-алгебраические системы.
Постановка задачи Схема Розенброка-Ваннера Задача (о движении маятника)

Лекция 17. Численная диагностика существования решения задачи Коши.
Постановка задачи (ОДУ 1-го порядка) Эффективный порядок точности Резюме лекции