Войти
Математика 14 лекций
Дифференциальные уравнения
февраль, 2016
1471

Курс «Дифференциальные уравнения» читается студентам второго курса физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 4 семестре.

В рамках дисциплины «Дифференциальные уравнения» изложены основные понятия и теоремы, относящиеся к дифференциальным уравнениям, особое внимание уделяется приближенным методам решения и исследования дифференциальных уравнений, методам численного решения как начальных, так и краевых задач.

В курсе рассмотрены классические теоремы о существовании и единственности решений некоторых классов дифференциальных уравнений и систем, изложены традиционные методы исследования линейных задач. В курсе изучается качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений, фазовая плоскость, теория устойчивости. 

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение.
Основные понятия Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Лекция 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение первого интеграла ОДУ и динамической системы Примеры физических задач, приводящие к дифференциальным уравнениям Простейшие ОДУ, интегрируемые в квадратурах Уравнения с разделяющимися переменными Автономные уравнения движения материальной точки на прямой Линейное уравнение (скалярное) Задача Коши для линейного ДУ однородного для неоднородного (метод вариации постоянной)

Лекция 3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Задача Коши для линейного ДУ неоднородного (продолжение) Теорема существования и единственности решения задачи Коши для скалярного ОДУ первого порядка Геометрическая интерпретация Эквивалентное интегральное уравнение (лемма 1) Метод последовательный приближений (метод Пикара) Доказательство существования решения задачи Коши О единственности решения интегрального уравнения

Лекция 4. Задача Коши для неоднородного ДУ. Теоремы Чаплыгина.
Доказательство единственности решения задачи Коши Теорема существования и единственности решения задачи Коши в случае, когда правая часть непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в полосе Замечания и примеры Метод дифференциальных неравенств Теорема Чаплыгина о дифференциальных неравенствах Теорема Чаплыгина о существовании и единственности решения задачи Коши

Лекция 5. Задача Коши для нормальной системы ОДУ. ДУ n-го порядка.
Замечания к теоремам Чаплыгина Пример применения теоремы Чаплыгина Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных условий и параметров в правой части Постановка задачи Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров в правой части Теорема существования и единственности решения задачи Коши (без доказательства) Теорема существования и единственности решения задачи Коши в случае, когда правая часть непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в полосе (без доказательства) Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров в правой части (без доказательства) Сведение их к системе уравнений 1-го порядка Теорема существования и единственности решения задачи Коши Линейные ОДУ n-го порядка

Лекция 6. Линейные ОДУ n-го порядка. Однородное уравнение.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши Следствия линейности уравнения Однородное уравнение Определитель Вронского Теорема о линейной зависимости системы функций Теорема о линейной независимости решений однородного уравнения Теорема о существовании фундаментальной системы решений (ФСР)

Лекция 7. Линейные ОДУ n-го порядка. Неоднородное уравнение.
Теорема о представлении общего решения через ФСР Общее решение неоднородного уравнения Функция Коши: построение частного решения неоднородного уравнения Общее решение однородного уравнения Структура ФСР в случае кратных корней характеристического уравнения

Лекция 8. Системы линейных уравнений..
Системы линейных уравнений Теорема существования и единственности решения задачи Коши Следствия линейности векторного уравнения Определитель Вронского Теорема о линейной зависимости системы вектор-функций  Теорема о связи линейной независимости решений однородной системы с определителем Вронского Теорема о существовании ФСР Теорема о представлении общего решения через ФСР Общее решение неоднородной системы Матрица Коши

Лекция 9. Системы с постоянными коэффициентами. Краевые задачи.
Системы с постоянными коэффициентами  Структура ФСР в случае простых собственных значений матрицы системы Структура ФСР в случае кратных собственных значений матрицы системы Постановка задачи Тождество Лагранжа Теорема единственности решения краевой задачи

Лекция 10. Функция Грина и её свойства.
Теоремы о достаточных условиях существования только тривиального решения у однородной задачи Необходимые условия разрешения неоднородной задачи Функция Грина и ее свойства Существование функции Грина Теорема о представлении решения с помощью функции Грина Единственность функции Грина Нелинейные задачи Метод стрельбы

Лекция 11. Теорема Нагумо. Теория устойчивости.
Теорема существования решения в случае ограниченной правой части (метод стрельбы) Понятие нижнего и верхнего решений краевой задачи, теорема Нагумо о существовании решения Примеры Асимптотическая устойчивость

Лекция 12. Устойчивость по Ляпунову. Классификация точек покоя.
Первый метод Ляпунова – исследование устойчивости решения по первому приближению Второй метод Ляпунова – метод функций Ляпунова Классификация точек покоя системы двух линейных уравнений первого порядка

Лекция 13. Фазовая плоскость и фазовые траектории. Асимптотические методы.
Постановка задачи Система первого приближения Фазовая плоскость Уравнение с квадратичной нелинейностью Понятие регулярно и сингулярно возмущенных задач Регулярные возмущения

Лекция 14. Регулярные и сингулярные возмущения. ДУ в частных производных.
Регулярные возмущения Теорема Тихонова Линейные однородные уравнения Квазилинейные уравнения