Матрица плотности – основной инструмент, необходимый для описания поведения открытых квантовых систем, вычисления поляризационных эффектов, создания алгоритмов работы с квантовой информацией. Врамках формализма матрицы плотности без труда получают свое разрешение некоторые квантовомеханические «парадоксы», например, широко известный парадокс кота Шредингера. 

Предлагаемый студентам первого года магистратуры годовой курс «Матрица плотности» не только обучает использовать формализм матрицы плотности, но и пытается раскрыть с помощью данного формализма красоту квантового подхода к описанию окружающего мира. Вкурсе подробно обсуждаются аксиоматика квантовой механики, интерпретации квантовой теории, различные модели измерений, даются основы квантовой теории информации и теории открытых квантовых систем, поднимаются вопросы нелокальности квантовой механики.

Задача о квантовой бомбе, квантовый Чеширский кот, парадокс Харди, квантовый парадокс Зенона, запрет клонирования произвольного чистого состояния, невозможность создания квантового сверхсветового телеграфа, квантовая телепортация, различные формы неравенства Белла и неравенство Леггетта-Гарга, машины времени Д.Дойча, ящики Попеску-Рорлиха, игрушечные биты Спеккенса, протоколы ван Дама – вот далеко неполный перечень изучаемых в курсе тем, которые помогут глубже понять квантовую механику и привьют студентам иммунитет к скороспелым и «очевидным» суждениям относительно поведения квантовых объектов.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение. Квантовая механика чистых состояний.
Предисловие Квантовая механика чистых состояний Постулаты квантовой механики (для чистых состояний) Постулат №1 Постулат №2 (принцип суперпозиции) О случайности в квантовой механике

Лекция 2. Квантовая механика чистых состояний (продолжение).
Постулаты квантовой механики для чистых состояний (продолжение) (продолжение) смысле коэффициентов разложения) След оператора и его свойства О логике квантовой механики (о соответствии наблюдаемых величин операторов) (об эволюции состояния квантовой системы во времени) (о виде производной по времени) Модели измерения Теорема о невозможности клонирования произвольного чистого состояния Первооткрыватели "No-cloning theorem" Совместное клонирование ортогональных состояний

Лекция 3. Квантовая механика чистых состояний (продолжение).
Теорема о невозможности уничтожения копии произвольного чистого состояния Люди, доказавшие "No-deleting theorem" Вектор состояния Вселенной О стреле времени Задача о квантовой бомбе

Лекция 4. Квантовая механика чистых состояний (продолжение).
Правила суперотбора Смысловое различие между вектором состояния и волновой функцией Операторы измерения Понятие о POVM-операторах Пример использования POVM-операторов Те, кто придумал POVM-аксиоматику квантовой механики "Еще раз о принципе суперпозиции"

Лекция 5. Квантовая механика чистых состояний (продолжение).
Несимметричные проекторы и слабые величины Слабые величины и отрицательные вероятности Квантовый Чеширский Кот Парадокс Харди

Лекция 6. Матрица плотности: основные свойства. Часть 1.
Чистые и смешанные состояния Матрица плотности чистого состояния и ее свойства Как строить матрицу плотности чистого состояния |ψ>? Прямое или тензорное произведение Матрица плотности смешанного состояния и ее свойства Примеры матриц плотности Степень совпадения или fidelity Связь fidelity и вероятности измерения an' Почему смешанное состояние не сводится к чистому? Физический смысл элементов матрицы плотности

Лекция 7. Матрица плотности: основные свойства. Часть 2.
Матрица плотности смешанного состояния в координатном представлении Пример "Отцы" матрицы плотности О терминологии "Московской школы" Неоднозначность разложения матрицы плотности смешанного состояния на чистые Унитарная свобода в представлении матрицы плотности Альтернативный набор условий для матрицы плотности чистого состояния

Лекция 8. Матрица плотности: основные свойства (продолжение).
Нерелятивистская матрица плотности спина s = 1/2 на произвольную ось г.) Напоминание о POVM-операторах Глизоноподобная теорема

Лекция 9. Матрица плотности: основные свойства (продолжение).
Матрица плотности и постулаты квантовой механики Количественное сравнение квантовых состояний Как найти степень совпадения по Ульману F1(рА, рВ)? Как найти следовую метрику DTr{рА, рВ}? Пример вычисления F1(рА, рВ) и DTr{рА, рВ) Пример вычисления остальных степеней совпадения и метрик Как вычислять различные функции от матрицы плотности Физические основания введения метрик (на примере следовой метрики DTr{рА, рВ}) Матрица плотности составной системы

Лекция 10. Матрица плотности: основные свойства (продолжение).
Запутанные и факторизованные чистые состояния Квантовое происхождение вероятностей Wℓ Альтернативный способ вычисления частичного следа Факторизация матрицы плотности Сепарабельное состояние для матрицы плотности

Лекция 11. Матрица плотности: основные свойства (продолжение).
Как создать запутанное состояние? Разложение Шмидта Число Шмидта и запутанные состояния Разложение Шмидта для трех и более подсистем Состояния Белла Квантовая телепортация Явный вид матрицы плотности |ψ-> Матрицы плотности состояний Белла и матрицы Паули

Лекция 12. Матрица плотности: основные свойства (продолжение).
Общий вид матрицы плотности двух спинов S=1/2 Зачем нужны критерии (условия) сепарабельности? Переса Перес и клан Городецких Как на практике выполнять частичное транспонирование Состояние Вернера и критерий сепарабельности Переса Редукционное условие сепарабельности Состояние Вернера и редукционный критерий Связь между матрицей плотности системы и матрицами плотности подсистем

Лекция 13. Формула фон Неймана и ее следствия 1.
Условная матрица плотности и формула фон Неймана Редукция матрицы плотности и парадокс друга Вигнера Теорема Нельсона Сходства и различия условной вероятности в классическом и квантовом случаях Проекционный постулат М.Борна и проекционный постулат Дирака - фон Неймана Селективные и неселективные измерения Формула для полной вероятности в классической теории вероятностей и квантовая теория Как быть, если макроприбор не может измерить весь спектр наблюдаемой? Постулат о среднем значении операторов

Лекция 14. Формула фон Неймана и ее следствия 2.
Модель измерения по фон Нейману Проблема невозможности создания квантовых сверхсветовых телеграфов. Нелокальность нерелятивистской квантовой механики на микроскопическом уровне Локальность нерелятивистской квантовой механики на макроскопическом уровне и теорема Эберхарда Теорема Эберхарда и Копенгагенская интерпретация квантовой механики Локальность НКМ на макроуровне и теорема о невозможности клонирования

Лекция 15. Формула фон Неймана и ее следствия 3. Эволюция квантовой системы во времени 1..
Суперпозиция или смесь! Принцип суперпозиции на языке матрицы плотности Эволюция квантовой системы во времени Квантовое уравнение Лиувилля (уравнение фон Неймана) Теорема "о сохранении чистоты"

Лекция 16. Эволюция квантовой системы во времени. Часть 2.
Решение квантового уравнения Лиувилля Важный частный случай Уравнение Блоха Квантовое уравнение Лиувилля (уравнение фон Неймана) в координатном представлении Обобщенная формула фон Неймана Обобщенное правило Людерса и формула фон Неймана Теорема Байеса с точки зрения обобщенного правила Людерса Теория приблизительных измерений

Лекция 17. Эволюция квантовой системы во времени. Часть 3.
Квантовый парадокс Зенона История открытия квантового парадокса Зенона Совместные истории (Consistent Histories) Локальность НКМ на макроуровне и попытка обхода теоремы о невозможности клонирования