Матрица плотности – основной инструмент, необходимый для описания поведения открытых квантовых систем, вычисления поляризационных эффектов, создания алгоритмов работы с квантовой информацией. В рамках формализма матрицы плотности без труда получают свое разрешение некоторые квантовомеханические «парадоксы», например, широко известный парадокс кота Шредингера. 

Предлагаемый студентам первого года магистратуры годовой курс «Матрица плотности» не только обучает использовать формализм матрицы плотности, но и пытается раскрыть с помощью данного формализма красоту квантового подхода к описанию окружающего мира. В курсе подробно обсуждаются аксиоматика квантовой механики, интерпретации квантовой теории, различные модели измерений, даются основы квантовой теории информации и теории открытых квантовых систем, поднимаются вопросы нелокальности квантовой механики.

Задача о квантовой бомбе, квантовый Чеширский кот, парадокс Харди, квантовый парадокс Зенона, запрет клонирования произвольного чистого состояния, невозможность создания квантового сверхсветового телеграфа, квантовая телепортация, различные формы неравенства Белла и неравенство Леггетта-Гарга, машины времени Д.Дойча, ящики Попеску-Рорлиха, игрушечные биты Спеккенса, протоколы ван Дама – вот далеко не полный перечень изучаемых в курсе тем, которые помогут глубже понять квантовую механику и привьют студентам иммунитет к скороспелым и «очевидным» суждениям относительно поведения квантовых объектов.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Эволюция квантовой системы во времени. Часть 4.
Формула Ааронова-Бергмана-Лебовица Формула Ааронова-Бергмана-Лебовица, проективные измерения и "квантовая стрела времени" Третья формула, или некорректная задача Оператор производной оператора по времени для смешанных состояний Свойства интегралов движения Представление взаимодействия для чистых состояний

Лекция 2. Эволюция квантовой системы во времени. Часть 5.
Представление взаимодействия для чистых состояний Квантовое уравнение Лиувилля (уравнение фон Неймана) в представлении взаимодействия Решение квантового уравнения Лиувилля Вывод Золотого правила Ферми

Лекция 3. Эволюция квантовой системы во времени. Часть 6. Описание открытых квантовых систем. Часть 1.
Золотое правило Ферми (продолжение) Описание открытых квантовых систем Распад нестабильной микросистемы Квантовое уравнение Лиувилля для открытых систем

Лекция 4. Описание открытых квантовых систем. Часть 2.
Общий подход Релаксационное уравнение для частицы в термостате Операторы Крауса и представление Крауса для матрицы плотности открытой квантовой системы Представление Крауса для наблюдаемых Неоднозначность представления Крауса Теорема Крауса

Лекция 5. Описание открытых квантовых систем. Часть 3.
Применение формализма операторов Крауса Проекционный постулат и уравнение Шредингера Модель Д.Дойча для замкнутых времениподобных кривых в квантовой механике

Лекция 6. Описание открытых квантовых систем. Часть 4.
Уравнение Линдблада Декогеренция с точки зрения уравнения Линдблада Типичный пример Уравнение Линдблада для наблюдаемых в представлении Гейзенберга Краус и Линдблад Физический смысл введения POVM-элементов

Лекция 7. Основы классической теории информации. Часть 1.
Основы классической теории информации Биты и наты. Энтропия и информация Механизм декогеренции и парадокс кота Шредингера Граница между мирами

Лекция 8. Основы классической теории информации. Часть 2.
Ограничения на величину шенноновской энтропии Двоичная энтропия Неравенство Йенсена и вогнутость энтропии Шеннона Классическая относительная энтропия и неравенство Гиббса Классическая совместная энтропия и субаддитивность Условная вероятность и теорема Байеса Классическая условная энтропия Доказательство субаддитивности Классическая взаимная информация Наглядная связь между различными энтропиями и взаимной информацией Сильная субаддитивность

Лекция 9. Основы квантовой теории информации. Часть 1.
Основы квантовой теории информации Квантовая энтропия (энтропия фон Неймана) Пример вычисления квантовой энтропии Энтропия замкнутой квантовой системы Ограничения на величину энтропии фон Неймана Энтропия чистого состояния Гипотеза о скрытых параметрах Квантовая и классическая энтропии смешанного состояния для диагональной матрицы плотности Вычисление квантовой и классической энтропии для недиагональной матрицы плотности

Лекция 10. Основы квантовой теории информации. Часть 2.
Квантовая относительная энтропия и неравенство Клейна Пример использования неравенства Клейна Монотонность квантовой относительной энтропии Квантовая совместная энтропия и субаддитивность Свойство субаддитивности для состояния Вернера Субаддитивность и второе начало термодинамики

Лекция 11. Основы квантовой теории информации. Часть 3.
Квантовая взаимная информация Неравенство треугольника Напоминание о разложении Шмидта Неравенство треугольника (продолжение) Вогнутость квантовой энтропии Теорема о невозможности передачи произвольного смешанного состояния "Угадайка" "Идентификация" Оптимальное копирование чистого состояния

Лекция 12. Нерелятивистская квантовая механика с точки зрения теории познания.
Теория познания и нерелятивистская квантовая механика (НКМ) Эмпирицизм Реализм Онтологические интерпретации НКМ Классификация онтологических моделей (по Спеккенсу) Общее описание

Лекция 13. Теория игрушечных битов Спеккенса (Spekkens toy bit). Часть 1.
Теория игрушечных битов Спеккенса (Spekkens toy bit) Теория Спеккенса и теория спина 1/2 Аналоги смеси и суперпозиции

Лекция 14. Теория игрушечных битов Спеккенса (Spekkens toy bit). Часть 2.
Аналоги смеси и суперпозиции (продолжение) Аналог эволюции в теории игрушечных битов Аналоги представлений Формализм стабилизаторов в НКМ

Лекция 15. Теория игрушечных битов Спеккенса (Spekkens toy bit). Часть 3.
Формализм стабилизаторов в НКМ (продолжение) Формализм стабилизаторов в теории TB Системы двух TB в теории Спеккенса

Лекция 16. Теория игрушечных битов Спеккенса (Spekkens toy bit). Часть 4. Функция Вигнера.
Системы двух TB в теории Спеккенса (продолжение) Степень совпадения или fidelity в TB Теорема о невозможности клонирования неизвестного epistemic state для TB Измерения в коррелированных системах Функции Вигнера как пример эпистемологических моделей

Лекция 17. Функция Вигнера (продолжение).
Функции Вигнера как пример эпистемологических моделей (продолжение) Уравнение эволюции для функции Вигнера (уравнение Мойала)

Лекция 18. Неравенства Белла и корреляции в квантовой теории. Часть 1.
Неравенства Белла и корреляции в квантовой теории Совместная измеримость и неизмеримость Совместная измеримость vs совместное существование Понятие об элементах физической реальности

Лекция 19. Неравенства Белла и корреляции в квантовой теории. Часть 2.
Историческая справка Основная идея Простой вывод BCHSH-неравенства Вывод BCHSH-неравенства из условия неотрицательности совместных вероятностей No-signaling Conditions Вывод BCHSH-неравенства при помощи концепции локальных скрытых параметров

Лекция 20. Неравенства Белла и корреляции в квантовой теории. Часть 3.
Граница Цирельсона Запутанные состояния вступают в игру Запутанные состояния продолжают игру Локальный реализм и BCHSH-неравенства

Лекция 21. Неравенства Белла и корреляции в квантовой теории. Часть 4.
Вычисление вероятности w (f+, f'-, g'-) Элементы физической реальности, классический реализм и локальность Дискуссия: может быть, НКМ все-таки локальна? Локальность для BCHSH-неравенств и локальность в КТП - это одно и то же, или это разные понятия? Что такое ЭПР-парадокс? Функция |ψ> в импульсном представлении Ведет ли ЭПР-аргументация к нарушению соотношения неопределенности

Лекция 22. Неравенства Белла и корреляции в квантовой теории. Часть 5.
Критерий сепарабельности по Беллу Применение критерия сепарабельности по Беллу к состоянию Вернера Нарушение BCHSH-неравенства при помощи любого чистого запутанного состояния двух спинов s=1/2 Носки профессора Бертлмана и BCHSH-неравенство Неравенство Вигнера Нарушение неравенства Вигнера в квантовой механике Информационное неравенство Белла Нарушение информационного неравенства Белла в квантовой механике Мермина

Лекция 23. Неравенства Белла и корреляции в квантовой теории. Часть 6.
Мермина (продолжение) Какие еще существуют идеи проверки концепции LR? Эксперименты по проверке неравенств Белла Дальнейшее развитие экспериментов Ящики Попеску-Рорлиха (Popescu-Rohrlich boxes)

Лекция 24. Ящики Попеску-Рорлиха. Часть 1.
Ящики Попеску-Рорлиха (продолжение) Игра Белла (по Джеффри Бубу)

Лекция 25. Ящики Попеску-Рорлиха. Часть 2.
Игра Белла (продолжение) Протоколы ван Дама Обобщение протоколов ван Дама

Лекция 26. Ящики Попеску-Рорлиха. Часть 3.
Принцип информационной причинности

Лекция 27. Ящики Попеску-Рорлиха. Лекция 4.
Принцип информационной причинности (продолжение) Геометрический взгляд на ящики Попеску-Рорлиха Решение парадоксов из курса

Лекция 28. Принцип макроскопического реализма и неравенства Леггетта-Гарга.
Макроскопический реализм Вывод простейшего неравенства Леггетта-Гарга Получение семейства неравенств Леггетта-Гарга Нарушение неравенств Леггетта-Гарга в квантовой теории Люди, чьи фамилии носит неравенство Леггетта-Гарга Сильный и слабый NIM No-signaling in time Неравенства Леггетта-Гарга в форме Вигнера Обобщение неравенств Леггетта-Гарга в форме Вигнера на n различных моментов времени и парадокс Зенона