Базовый курс теории функций комплексного переменного, читаемый студентам механико-математического факультета МГУ на третьем курсе

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение в комплексный анализ.
Формы записи комплексных чисел Геометрический смысл линейной функции Дифференцируемость функций комплексного переменного Теорема (условия Коши-Римана) Примеры (проверка условий Коши-Римана) Определение и свойства голоморфных функций Примеры и свойства голоморфных функций

Лекция 2. Конформные отображения.
Связь с дифференцируемостью Конформные отображения  Пример 1 Пример 2 Расширенная комплексная плоскость Дробно-линейное отображение

Лекция 3. Дробно-линейные отображения.
Конформность дробно-линейного отображения (ДЛО) во всех точках расширенной комплексной плоскости Групповое свойство ДЛО Круговое свойство ДЛО Пример кругового свойства ДЛО Свойство сохранения симметрии ДЛО единичного круга на себя

Лекция 4. Дробно-линейные отображения. Интеграл вдоль пути.
ДЛО единичного круга на себя (продолжение предыдущей лекции) Свойство трех точек Описание всех ДЛО верхней полуплоскости на себя Интеграл вдоль пути (формула Ньютона-Лейбница) (единственное явное вычисление интеграла в курсе ТФКП) Следствие из данных примеров Свойства интеграла вдоль пути

Лекция 5. Интегральная теорема Коши.
Существование первообразной в круге Лемма Гурса Следствия из леммы Определение ограниченной области с кусочно-гладкой границей Интегральная теорема Коши

Лекция 6. Интегральная формула Коши.
Интегральная формула Коши Замечания к интегральной функции Коши Равномерная сходимость Свойства равномерной сходимости Теорема о разложении голоморфной функции в степенной ряд Неравенства Коши Теорема Лиувилля Следствия из теоремы Лиувилля

Лекция 7. Сходимость степенных рядов.
Формула Коши-Адамара Круг и радиус сходимости Следствие из формулы Коши-Адамара Голоморфность суммы степенного ряда Бесконечная дифференцируемость голоморфных функций Формула для коэффициентов ряда Тейлора Интегральная формула Коши для производных Теорема Морера Эквивалентность трех определений голоморфных функций

Лекция 8. Нули голоморфных функций.
Нули голоморфных функций Принцип изолированности нулей Теорема об открыто-замкнутом подмножестве Теорема единственности Примеры разложения в степенной ряд

Лекция 9. Поведение функций, голоморфных в окрестности особой точки.
Разложение голоморфной функции в ряд Лорана Сходимость рядов по целым степеням z-a Неравенства Коши Классификация изолированных особых точек однозначного характера Устранимая особая точка Полюс

Лекция 10. Теорема Сохоцкого.
Теорема Сохоцкого a = ∞ как изолированная особая точка Целые функции с полюсом на бесконечности Описание всех конформных отображений плоскости на себя Мероморфная функция Вычеты Теорема Коши о вычетах Вычисление вычетов с помощью ряда Лорана Формулы для вычисления вычета в полюсах

Лекция 11. Вычеты.
Формула для вычета в полюсе произвольного порядка Пример вычисления вычета Пример вычисления интеграла с помощью вычета Лемма о логарифмическом вычете Теорема о логарифмическом вычете Непрерывная ветвь аргумента вдоль пути

Лекция 12. Принцип аргумента. Теорема Руше. Принцип сохранения области.
Изменение аргумента вдоль пути и границы Свойства Принцип аргумента Теорема Руше Пример (нахождение нулей многочлена) Доказательство основной теоремы алгебры Принцип сохранения области Критерий локальной однолистности Окончательная форма теоремы об обратной функции

Лекция 13. Принцип максимума модуля.
Принцип максимума модуля Лемма Шварца Описание всех конформных отображений C на себя Единственность конформного отображения области на круг Задача на экстремум, решением которой является конформное отображение области на круг Теорема о рядах

Лекция 14. Теорема Гурвица. Принцип компактности. Определение первообразной вдоль пути.
Теорема Гурвица Принцип компактности Определение первообразной вдоль пути

Лекция 15. Теорема Римана о конформном отображении.
Формула Ньютона-Лейбница для первообразной вдоль пути Определение гомотопных путей Теорема Коши о гомотопии Определение односвязной области Существование первообразной в односвязной области Лемма о корнях и логарифмах Теорема Римана о конформном отображении