Данный курс предназначен для студентов механико-математического факультета МГУ, обучающихся по программе ФММФ. Теория функций комплексного переменного, замечательная и сама по себе, сильна своими многочисленными и эффективными приложениями в физике, механике, технике и инженерном деле. Эта теория во многом и развивалась под воздействием приложений, что ясно видно уже из работ Л. Эйлера, одного из основателей данной математической дисциплины. Именно сильно развитое конструктивное начало включает эту науку в арсенал любого исследователя, работающего на стыке математики, физики и технологий.
Специализация Фундаментальная математика и математическая физика (ФММФ) разработана в 2020 году на механико-математическом факультете МГУ имени М.В. Ломоносова при поддержке Фонда развития теоретической физики и математики «БАЗИС». Программа реализуется совместно с Институтом теоретической и математической физики МГУ.
Главной особенностью новой специализации является сочетание сильной математической подготовки с уклоном в современные курсы теоретической физики, обучение студентов физическому взгляду на задачи и необходимому для понимания языка физических теорий математическому аппарату.
Список всех тем лекций
Лекция 1. Введение в комплексный анализ.
Определения
Обозначение комплексных чисел
Модуль комплексного числа
Полярная запись комплексного числа
Уравнение осциллятора
Свойство экспоненты
Аргумент комплексного числа
Действия с комплексными числами
Функции комплексного переменного
Определение голоморфной функции
Определение комплексной линейной функции
Примеры
Соотношение Коши-Римана
Доказательство соотношения Коши-Римана
Запись условия Коши-Римана
Лекция 2. Интегрирование комплекснозначных функций. Формула Коши и ее приложение.
Интегрирование комплекснозначных функций
Формула Пуанкаре
Дифференциал формы
Пример нахождения интеграла по границе единичного круга
Теорема Коши
Лемма Гурса
Формула Коши-Помпейю
Лекция 3. Следствия формулы Коши.
Следствие 1
Следствие 2
(теорема Лиувилля)
(теорема Мореры)
(теорема Коши)
Лекция 4. Представление голоморфных функций в виде рядов.
Следствие из теоремы Лиувилля
Степенные ряды и голоморфные функции
Представление Коши для кольца
Изолированные особые точки
Лекция 5. Особые точки.
Утверждение про полюс
Существенно особая точка
Теорема Сохоцкого
Локальное поведение голоморфных функций
Принцип максимума для голоморфной функции
Лекция 6. Принцип аргумента.
Принцип минимума для голоморфной функции
Вычисление интегралов с помощью вычетов
Принцип аргумента
Лемма Шварца
Автоморфизмы единичного диска
Теорема Руше
Лекция 7. Голоморфные и гармонические функции.
Голоморфные и гармонические функции
Задачи для гармонических функций
Связь с физическими задачами
Лекция 8. Конформные отображения.
Обтекание кругового цилиндра идеальной жидкостью
Обтекание стенки
Задача (нахождение функции Грина)
Конформные отображения
Доказательство теоремы Римана
Лекция 9. Принцип отражения Шварца.
Принцип отражения Шварца
Интеграл Кристоффеля - Шварца
Лекция 10. Отображение Кристоффеля - Шварца.
Отображение Кристоффеля - Шварца
Уравнение Шварца
Лекция 11. Теорема Фукса.
Теорема Фукса
Сходимость рядов
Лекция 12. Гипергеометрическое уравнение Гаусса.
Теорема Папперица
Гипергеометрическое уравнение Гаусса
Лекция 13. Монодромия гипергеометрического уравнения.
Уравнение Гаусса
Монодромия
