Семинары по курсу "Классическая дифференциальная геометрия" (механико-математический факультет МГУ, 4 семестр)

Список всех тем лекций

Семинар 1. Параметризация кривых.
Общая информация о кривых Пример задачи на параметризацию Параметризация в полярной системе координат Более сложный случай параметризации кривой Вектор скорости Параметризация спирали Параметризация логарифмической спирали

Семинар 2. Кривизна.
Повторение материала прошлого семинара Требования к кривизне в параметризации Проверка выполнения данных требований Нахождение кривизны эллипса Кривизна прямой Репер Френе Задача о четырех вершинах Кривые в трехмерном пространстве

Семинар 3. Первая квадратичная форма.
Повторение материала прошлого семинара Пример кривизны и кручения некоторой кривой Задача на доказательство формы кривой Поверхности Поверхности вращения Параметризация поверхности Задание поверхности в 4-х мерном пространстве Первая квадратичная форма

Семинар 4. Вторая квадратичная форма.
Неявная параметризация для первой квадратичной формы Задача на проверку регулярности поверхности Вторая квадратичная форма Расчет второй квадратичной формы для графика функции Расчет второй квадратичной формы для поверхности вращения Расчет второй квадратичной формы для сферы Расчет второй квадратичной формы для поверхности, не являющейся поверхностью вращения (геликоид) Расчет второй квадратичной формы для трубчатой поверхности

Семинар 5. Некоторые свойства кривых.
Маятник Гюйгенса Эволюта Эволюта циклоиды Эволюта астроиды Эвольвента

Семинар 6. Риманова метрика.
Введение Задача на нахождение угла между кривыми Задача на нахождение периметра и углов треугольника, образованного некоторыми кривыми Задача на нахождение площади треугольника, образованного некоторыми кривыми Задача на нахождение уравнений Изометричные поверхности Локальная изометричность конической поверхности Локальная изометричность неплоских поверхностей

Семинар 7. Неевклидовы геометрии.
Введение Модель геометрии, в которой нет параллельных прямых параллельные прямые (псевдо-евклидово пространство) Гиперболические повороты Пример нахождения длины окружности и площадь ограниченного ей круга Модель Пуанкаре Вид прямых в модели Пуанкаре

Семинар 8. Геометрия Лобачевского.
Модель на гиперболоиде, модель Пуанкаре Модель в верхней полуплоскости Задача на нахождение преобразования, сохраняющее метрику Задача на нахождение преобразования Задача на нахождение преобразования симметрии Вывод формулы для нахождения расстояния между точками Пример применения формулы Доказательство формул в геометрии Лобачевского Площадь треугольника в геометрии Лобачевского

Семинар 9. Гладкие многообразия. Часть 1.
Гладкие многообразия Требования к гладким отображениям Примеры Теорема о размерности гладкого многообразия Гладкие отображения Примеры Эквивалентность отображений гладких многообразий Ориентируемость гладких многообразий

Семинар 10. Гладкие многообразия. Часть 2.
Проективное пространство Атлас многообразия Проверка ориентированности многообразия Группы Ли Доказательство ориентированности Общий метод для доказательства гладкости многообразия некоторых матричных групп Задание ориентации на матричных группах Погружение и вложение Подмногообразие Примеры вложений и погружений Задача на нахождение матрицы