Семинары по курсу высшей алгебры (1 семестр)

Список всех тем лекций

Семинар 1. Элементарная алгебра.
Вводное слово о структуре курса Задачи для затравки: разложение многочленов на множители Удивительное разложение многочлена x^6+x^3+1 Простое уравнение в целых числах Похожее уравнение посложнее: пример применения комплексных чисел Комплексные числа: начало

Семинар 2. Комплексные числа.
(разбор задачи из домашнего задания) (разбор задачи из домашнего задания) Повторение материала предыдущего семинара Корни из единицы (примеры) Геометрический смысл комплексных чисел Геометрия умножения на комплексное число Примеры Теорема Формула Муавра Примеры Извлечение корней из комплексных чисел Домашнее задание

Семинар 3. Извлечение корней из комплексных чисел.
п.ж п.л п.м Свойства корней Задача (геометрическое построение комплексных чисел) Задача (найти корни) Задача (найти корни) (из домашнего задания) х (из домашнего задания) Примеры (применение комплексных чисел) Биномиальные коэффициенты

Семинар 4. Системы линейных уравнений.
Разбор задач из домашнего задания Система линейных уравнений Теорема (формула Крамера) Геометрический смысл определителя (задача) Теорема (о бивекторе) (метод Гаусса)

Семинар 5. Базис векторного пространства.
Разбор задач из домашнего задания Применение метода Гаусса (а) (в) Задача 6.9 (г) (д) Задача 6.6 Базис Эквивалентные условия (з)

Семинар 6. Базис в пространстве решений однородной системы линейных уравнений.
Основные определения Фундаментальная система решений Пример (а) (б) Разбор задач из домашней работы Определитель два на два Задачи (комплексные числа)

Семинар 7. Линейные отображения. Матрицы.
(д) (ранг суммы двух матриц) Связь ранга матрицы с системой линейных уравнений Задача №7.10 Арифметическое векторное пространство и абстрактное векторное пространство (определения) Линейные отображения в R2 Пример Задача (линейные отображения) Матрица линейные отображения (примеры) Умножение матриц Изоморфизм колец Ядро и образ линейного отображения Теорема (размерность)

Семинар 8. Произведение матриц. Ядро и образ линейных отображений.
Теорема (о линейном отображении) Теорема (о ранге матрицы) Оценки размерности образа и прообраза подпространства Задачи (умножение матриц) Задача №7а Задача №7б (вычислить натуральные степени матрицы) Задача (найти базис ядра и образа) Вычеты Задача №4

Семинар 9. Обратные матрицы.
Задача о гирях Алгебраические структуры и обратимые элементы Пример Пример (бесконечное множество) Обратимость матрицы Алгоритм нахождения обратной матрицы е (поиск обратной матрицы) (многочлен от матрицы)

Семинар 10. Перестановки.
Задача 8.10б (из домашнего задания) Задача (возвести матрицу в степень) Задача (возвести матрицу в степень) Задача (из домашнего задания) Замечание Задача 8.5а (из домашнего задания) Задача из домашнего задания Перестановки (определение) Задача 3.1 Разложение в независимые циклы Задача 3.2а Свойство независимых циклов Упражнения   Чётность перестановок Комбинаторные задачи

Семинар 11. Определители. Часть 1.
Задача 7а (из домашнего задания) Задача 7б (из домашнего задания) Задача 9б (из домашнего задания) Задача 9г (из домашнего задания) Объём параллелепипеда Определитель (формула) Определитель треугольной матрицы Примеры ) Задача Задача 11.10а

Семинар 12. Определители. Часть 2.
Другой подход к чётности перестановки Декремент перестановки Задача 3 Задача 6 Задача 4б Теорема Теорема (определитель произведения матриц) Задача 111 Задача 117 Задача 205 Задача 208 Задача (об определителе) Циркулянт Биномиальные коэффициенты Задача 11.1д Задача (разложение по строке)

Семинар 13. Присоединённая матрица.
Задача (вычислить определитель) Теорема о ранге матрицы Задача (теорема о факторизационном ранге матрицы) Присоединённая матрица Следствие из теоремы Задача Задача (выразите определитель присоединённой матрицы через определитель исходной матрицы) Блок задач (ранги квадратной матрицы, возведенной в степень) Неравенство Фробениуса (формулировка)

Семинар 14. Неравенство Фробениуса. Согласованные базисы.
Неравенство Фробениуса (доказательство) Теорема Согласованные базисы Задача (найти согласованные базисы суммы линейных оболочек) Домашнее задание

Семинар 15. Разбор решений задач из контрольной работы.
(возведение матрицы в степень) (система линейных уравнений два на два) (фундаментальная система решений (ФСР) системы линейных однородных уравнений) (фундаментальная система решений (ФСР) системы линейных однородных уравнений) (обратные матрицы) Задача 7 Задача 8 (ранг матрицы) (ранг матрицы) (определитель Вандермонда)

Семинар 16. Консультация.
Вопрос о перестановках Вопросы о линейных отображениях Вопрос о лемме о "фальшивом разложении" определителя Вопрос о теореме о пространстве решений Вопрос об определителе Вопрос о классах эквивалентности Задача Разбор вопросов теста Задача (о присоединённых матрицах)

Семинар 17. Группы. Часть 1.
Группы преобразований Подгруппы в группе движений Преобразование подобия Аффинные преобразования Группа Примеры Изоморфизм групп

Семинар 18. Группы. Часть 2.
Разбор вопросов из домашнего задания Теорема Шаля Задача 3б Задача 9 Смежные классы Описание смежных классов

Семинар 19. Как Лагранж пришёл к теореме Лагранжа.
Теорема Лагранжа Задача 4а Обращение теоремы Лагранжа Пример Малая теорема Ферма Классификация групп некоторых порядков

Семинар 20. Многочлены. Часть 1.
Формулы Виета Пример Задача (решение системы уравнений) Задача (избавление от иррациональности в знаменателе) Теорема о делении с остатком Задача 1 Задача 2 Связь комплексных чисел и сравнений по модулю

Семинар 21. Многочлены. Часть 2.
Задача 15б (из домашнего задания) Теорема Задача 6.98 Неприводимые многочлены Основная теорема алгебры (комплексных чисел) Теорема о рациональных корнях Признак Эйзенштейна Пример

Семинар 22. Неприводимые многочлены.
(неприводимые многочлены) Многочлены над полем Zp Неприводимые многочлены над конечными полями Задача (разложить на неприводимые многочлены над Q) Признак Эйзенштейна Лемма Гаусса Задача интерполяции Задача

Семинар 23. Простейшие дроби. Симметрические многочлены.
Задача (найдем первообразную функции) Простейшие дроби (понятие, примеры) Задача "о рельсах" Почему кольцо от двух многочленов не евклидово Алгоритм выражения симметрических многочленов через элементарные симметрические Дискриминант многочлена Выражение суммы n кубов через элементарные симметрические

Семинар 24. Алгебраические числа.
Задача про перестановки (задача Константинова об обмене квартирами) Задача 2 Задача (разложить в сумму простейших) Симметрические многочлены (задача) Задача Алгебраические числа (определение, примеры) Теорема об избавлении от иррациональности в знаменателе Задачи Лемма о размерности башни

Семинар 25. Сопряжённые алгебраические числа.
Отвечает на вопросы студентов Задача (алгебраические числа) Сопряжённые алгебраические числа (примеры для затравки) Сопряжённые алгебраические числа (определение) Факты о сопряжённых алгебраических числах Теорема Теорема Круговые многочлены Утверждение Вычисление круговых многочленов Пример

Семинар 26. Лемма о башне.
Лемма о башне Примеры Замечание Задача Задача (про суммирование) Теорема Задача (про сумму дробей)