Автоморфизмы аффинных алгебраических многообразий

При изучении любых математических объектов важную роль играют не только сами объекты, но и отображения между ними. Таким образом, изучая аффинные алгебраические многообразия, стоит иметь в виду морфизмы между ними и автоморфизмы многообразий. Самым простым по определению (но не с точки зрения группы автоморфизмов) аффинным многообразием является аффинное пространство. Довольно много известных проблем так или иначе связаны с автоморфизмами аффинного пространства: проблема Якобиана, проблема диких и ручных автоморфизмов, проблема линеаризации тора, проблема сокращения и другие. В нашем курсе мы коснёмся двух из этих классических проблем: проблема диких и ручных автоморфизмов и проблеме сокращения.

Кроме аффинного пространства мы сосредоточимся на тех многообразиях, группа автоморфизмов которых достаточно мала, чтобы её можно было описать явно. Класс многообразий с самой маленькой группой автоморфизмов — это жёсткие многообразия, то есть те, на которых нет нетривиальных регулярных действий аддитивной группы поля. Есть гипотеза, что группа автоморфизмов таких многообразий без обратимых функций — это конечное расширение тора. В курсе мы докажем эту гипотезу в некоторых частных случаях. Далее поговорим о почти жёстких многообразиях, группа автоморфизмов которых бесконечномерная, но всё-таки допускает явное описание.

Последний сюжет курса посвящён гибким многообразиям. Это многообразия, группа автоморфизмов которых настолько велика, что её подгруппа специальных автоморфизмов действует транзитивно на регулярных точках. Для таких многообразий нет возможности явно описать группу автоморфизмов, поэтому результаты в данной области касаются того, насколько сильно данный автоморфизм перемешивает точки многообразия.