Вторая часть курса по численным методам, в которой изложены классические методы вычислительной математики: сопряженных градиентов, Ньютона, методы Рунге-Кутта и другие. В курсе рассматриваются численные решения нелинейных уравнений, задачи Коши для системы ОДУ, краевых задач для систем ОДУ второго порядка.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Метод сопряженных градиентов.
Метод сопряженных градиентов Постановка задачи Ограничения на многочлен Подпространство Крылова Решение задачи для невязки Система алгебраических уравнений для невязки Алгоритм Скорость сходимости Выбор начального приближения Модификации метода сопряженных градиентов

Лекция 2. Нелинейные уравнения.
Решение плохо обусловленных задач Постановка задачи и ее точное решение Случай наличия погрешности Метод регуляризации Тихонова Другие подходы к решению некорректных задач Методы решений систем нелинейных уравнений Постановка задачи Метод простой итерации Единственность решения Сходимость метода Технические замечания Метод Ньютона Система уравнений в общем случае Геометрическая интерпретация Сходимость метода

Лекция 3. Численное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пример использования метода Ньютона Численное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи Разложение в ряд Тейлора Метод Эйлера Методы Рунге-Кутты

Лекция 4. Конечно-разностные методы.
Методы Рунге-Кутта Неявные методы Устройство вычислительных программ Конечно-разностные методы Характеристическое уравнение разностной схемы Решение уравнения в конечных разностях Условие альфа (ограничение на коэффициенты разностной схемы)

Лекция 5. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений Методы решения жестких систем (обзор) Методы Рунге-Кутта Линеаризация в точке Метод Лебедева Многочлены Чебышева Преимущества метода

Лекция 6. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка Постановка задачи Построение разностной схемы Погрешность аппроксимации Устойчивость разностной схемы Принцип максимума Следствия устойчивости схемы Решение задачи для систем с возмущением

Лекция 7. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (продолжение).
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка Метод прогонки Алгоритм Метод стрельбы (метод пристрелки) Повышение порядка аппроксимации типа Решение проблемы тридиагональной матрицы Обобщенное решение Теорема существования и единственности обобщенного решения

Лекция 8. Метод конечных элементов.
Формула суммирования по частям Сеточный аналог теоремы вложения Устойчивость разностной схемы по норме пространства Соболева Сходимость метода Метод конечных элементов Коэффициенты матрицы жесткости Оценка погрешности

Лекция 9. Метод Галёркина для полинома второй степени.
Метод Галёркина для полинома второй степени Матрица жесткости Метод решения системы линейных уравнений Погрешность аппроксимации Оценка погрешности (повторение) Оценка нормы разности Аппроксимация уравнения теплопроводности

Лекция 10. Решение уравнений в частных производных.
Решение уравнений в частных производных Модельная задача - уравнение переноса Спектральная устойчивость - определение Исследование схем на спектральную устойчивость Пример неявной схемы Правила аппроксимации Дополнительные свойства разностных схем

Лекция 11. Численные методы для параболических уравнений.
Постановка задачи Аппроксимация исходной задачи (явная схема) Свойства разностной схемы Аппроксимация исходной задачи (неявная схема) Порядок аппроксимации и сходимость разностных схем Построение разностной схемы Кранка-Николсона Свойства разностной схемы (спектральная устойчивость)

Лекция 12. Численные методы для эллиптических уравнений.
Постановка задачи Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате Построение разностной схемы Аппроксимация Устойчивость Сходимость Алгоритмы решения сеточных уравнений - прямые методы Итерационные методы

Лекция 13. Экономичные методы решения систем уравнений.
Прямой метод решения системы уравнений (для уравнения Пуассона) Вид решения (дискретное разложение в ряд Фурье) Алгоритм решения задачи Первый шаг (поиск коэффициентов разложения в дискретный ряд Фурье) Второй шаг (решение системы методом прогонки, поиск коэффициентов системы) Третий шаг (восстановление функций) Решение системы уравнений (для произвольного эллиптического оператора) Сведение к предыдущей задаче (для дифференциального случая) Итерационный процесс