Список всех тем лекций

Лекция 1. Уравнения с частными производными 1-го порядка и их виды.
Список литературы Отличия от курса Обыкновенные дифференциальные уравнения Знакомые понятия из курса Обыкновенные дифференциальные уравнения Три вида УрЧП, которые встретятся в курсе Об УрЧП 1-го порядка Производная в силу системы Характеристическая точка Линейное неоднородное УрЧП 1-го порядка Квазилинейное неоднородное УрЧП 1-го порядка, график его решения 1-график

Лекция 2. Классические решения.
Повторение прошлой лекции Функция потока Уравнение Хопфа Утверждение о постоянстве решения задачи Коши вдоль интегральных кривых (прямых) некоторого ДУ Теорема о сведении решения задачи Коши к неявному функциональному уравнению Примеры Теорема о связи неявного уравнения на полосе с задачей Коши

Лекция 3. Обобщённые решения.
Повторение прошлой лекции Доказательство теоремы о связи неявного уравнения на полосе с задачей Коши Формирование особенностей Обобщённое решение Утверждение о вхождении гладкой функции и в класс классических, и в класс обобщённых решений

Лекция 4. Условие Ранкина-Гюгонио.
Повторение прошлой лекции Замечание об обобщённом решении в подмножестве Ударная волна Альтернативная формулировка условия Ранкина-Гюгонио Доказательство теоремы о кусочно-гладком обобщённом решении с одной линией разрыва Пример построения разрывных решений Пример неединственности обобщённого решения задачи Коши в смысле интегрального тождества

Лекция 5. Обобщённое энтропийное решение.
Повторение прошлой лекции Условие допустимости разрыва Метод "исчезающей вязкости" Другая формулировка условии допустимости разрыва Несколько слов о пройденном материале Теоремы об энергетических оценках

Лекция 6. Линейные УрЧП 2-го порядка.
Доказательства теорем об энергетических оценках Главная часть, младшие члены Приведение линейного УрЧП 2-го порядка к каноническому виду в точке

Лекция 7. Классификация линейных УрЧП 2-го порядка.
Примеры Пара слов об ультрагиперболических и параболических в широком смысле УрЧП 2-го порядка Пример: уравнение Трикоми Нелинейная замена переменных в УрЧП 2-го порядка Характеристики (характеристические поверхности) УрЧП 2-го порядка Теорема о независимости характеристики от замены координат Пара слов о характеристиках различных типов уравнений

Лекция 8. Теорема Ковалевской.
Контравариантный и ковариантный тензоры Немного о линейных операторах Комментарий к приведению линейного УрЧП 2-го порядка к каноническому виду в области Теорема Ковалевской: формулировка и замечания Теорема Ковалевской: доказательство единственности Теорема Ковалевской: "контрпример"

Лекция 9. Уравнение струны.
Задача Коши для уравнения струны Непрерывная зависимость решения от начальных условий Вывод общего решения из характеристик УрЧП 1-го порядка Вывод общего решения из характеристик уравнения струны Проверка формулы Даламбера Физический смысл: уравнение малых колебаний струны Физический смысл: уравнение упругих продольных колебаний стержня Физический смысл: уравнение (малых) одномерных адиабатических колебаний газа

Лекция 10. Задача Коши для полуограниченной струны.
Повторение прошлой лекции Обобщённое решение задачи Коши уравнения струны с более гладкими условиями Связь обобщённого решения с классическим Закреплённый, свободный и упруго закреплённый концы Задача Коши для закреплённого конца Условия согласования

Лекция 11. Задача Коши для ограниченной струны.
Повторение прошлой лекции Условия согласования для полуограниченной струны с краевым условием 2-го рода Метод чётного (нечётного) продолжения Задача Коши для ограниченной струны Метод Фурье

Лекция 12. Обоснование метода Фурье.
Повторение прошлой лекции Равенство Парсеваля Вывод формулы из метода Фурье Обоснование метода Фурье Обоснование метода Фурье без дополнительных условий Задача Штурма-Лиувилля

Лекция 13. Задача Штурма-Лиувилля.
Собственный вектор и собственное значение Пара слов о спектре линейного оператора Лемма о симметричности (самосопряжённости) оператора из задачи Штурма-Лиувилля Доказательство теоремы о свойствах собственных значений и собственных векторов Теорема о существовании обратного оператора из задачи Штурма-Лиувилля Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля Построение функции Грина

Лекция 14. Функция Грина.
Повторение прошлой лекции Определитель Вронского Функция Грина как симметричное ядро интегрального оператора Пример построения функции Грина Применение функции Грина в задаче с оператором, обратным оператору из задачи Штурма-Лиувилля Доказательство того, что интегральный оператор с функцией Грина это оператор, обратный оператору из задачи Штурма-Лиувилля Теорема Гильберта-Шмидта