При изучении любых математических объектов важную роль играют не только сами объекты, но и отображения между ними. Таким образом, изучая аффинные алгебраические многообразия, стоит иметь в виду морфизмы между ними и автоморфизмы многообразий. Самым простым по определению (но не с точки зрения группы автоморфизмов) аффинным многообразием является аффинное пространство. Довольно много известных проблем так или иначе связаны с автоморфизмами аффинного пространства: проблема Якобиана, проблема диких и ручных автоморфизмов, проблема линеаризации тора, проблема сокращения и другие. В нашем курсе мы коснёмся двух из этих классических проблем: проблема диких и ручных автоморфизмов и проблеме сокращения.

Кроме аффинного пространства мы сосредоточимся на тех многообразиях, группа автоморфизмов которых достаточно мала, чтобы её можно было описать явно. Класс многообразий с самой маленькой группой автоморфизмов — это жёсткие многообразия, то есть те, на которых нет нетривиальных регулярных действий аддитивной группы поля. Есть гипотеза, что группа автоморфизмов таких многообразий без обратимых функций — это конечное расширение тора. В курсе мы докажем эту гипотезу в некоторых частных случаях. Далее поговорим о почти жёстких многообразиях, группа автоморфизмов которых бесконечномерная, но всё-таки допускает явное описание.

Последний сюжет курса посвящён гибким многообразиям. Это многообразия, группа автоморфизмов которых настолько велика, что её подгруппа специальных автоморфизмов действует транзитивно на регулярных точках. Для таких многообразий нет возможности явно описать группу автоморфизмов, поэтому результаты в данной области касаются того, насколько сильно данный автоморфизм перемешивает точки многообразия.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Автоморфизмы аффинных алгебраических многообразий.
Вложенное аффинное алгебраическое многообразие Морфизм Изоморфизм Автоморфизм Вычисление групп автоморфизмов Многомерный алгебраический тор Аффинная плоскость Пример неалгебраического автоморфизма Открытые проблемы групп автоморфизмов аффинных алгебраических многообразий

Лекция 2. Доказательство теоремы Юнга.
Формулировка теоремы Юнга Локальное нильпотентное дифференцирование (ЛНД) Многоугольники Ньютона Доказательство теоремы Юнга

Лекция 3. Теорема Шестакова-Умирбаева.
Автоморфизм Нагаты Формулировка теоремы Шестакова-Умирбаева Теорема Смит Алгебра Ли *-редуцированная пара многочленов Основная техническая лемма Автоморфизмы от трех переменных, не понижающие степень при редукции

Лекция 4. Группы ручных автоморфизмов, свободное и амальгамированное произведение.
Доведение до конца пропущенных доказательств из прошлой лекции (Лемма об ограниченности степени многочлена от двух полиномов и её следствие; Можно ли уменьшить степень автоморфизма от трех переменных путем композиции с одним элементарным автоморфизмом?) Идеи доказательства теоремы Шестакова-Умирбаева Группы ручных автоморфизмов, свободное произведение Амальгамированное произведение Алгебры многочленов от двух переменных есть амальгамированное произведение их подгрупп

Лекция 5. Жёсткие многообразия.
Автоморфизм Нагаты дикий над кольцом целых чисел Жёсткие многообразия Верно ли в обратную сторону? Пусть X жёсткое, тогда Aut(X) содержит единственный максимальный тор

Лекция 6. Описание групп автоморфизмов.
Доказательство лемм, пропущенных на прошлой лекции Aut(X) - конечное расширение тора Изолированный полуинвариант Если К[X] порождена изолированными неприводимыми полуинвариантами, то Aut(X) - алгебраическая группа

Лекция 7. Описание групп автоморфизмов. Продолжение.
Неприводимые изолированные полуинварианты Доказательство утверждения: Если К[X] порождена изолированными неприводимыми полуинвариантами, то Aut(X) - алгебраическая группа Инвариант Макар-Лиманова алгебры K[A] Кубика Кораса-Рассела Поверхности Данилевского

Лекция 8. Описание групп автоморфизмов нежёстких многообразий.
Как описывать группу автоморфизмов, если многообразие нежёсткое? Почти жёсткое многообразие Тогда ∀ 1

Лекция 9. Многообразия Данилевского.
Лемма: yj делит δ(yj), δ - полупростое дифференцирование.Тогда для любого φ из Λ: φ(yj) делится на yj Aut(X) порождена U(δ), S(X), T, D Отображение Диксимье, слайс LND и их свойства

Лекция 10. Транзитивность, подгруппы, гибкие точки.
Поверхности Данилевского дают контрпример к обобщенной гипотезе сокращений Транзитивность Подгруппа специальных автоморфизмов, алгебраически порожденная подгруппа, гибкая точка Тогда следующие условия эквивалентны: X - гибкое, SAut(X) действует на регулярных точках бесконечно транзитивно

Лекция 11. Транзитивность, подгруппы, гибкие точки.
Начало доказательство того, что невырожденные торические многообразия являются гибкими Aut(X) действует на регулярных точках транзитивно Теорема Формулировка леммы: Пусть δ - LND(A), dimδ Конец доказательства того, что невырожденные торические многообразия являются гибкими Доказательство леммы

Лекция 12. Алгебраически порожденные группы.
Тогда следующие условия эквивалентны: X - гибкое, SAut(X) действует на регулярных точках X бесконечно транзитивно Алгебраически порожденные группы, орбиты Тогда существует конечное число G-инвариантов, разделяющих орбиты 3) Существует гибкая точка на X