Лекции по математическому анализу (первая часть), читающиеся на первом курсе механико-математического факультета МГУ

Список всех тем лекций

Лекция 1. Действительные числа.
Вступительное слово Аксиомы сложения и произведения Дистрибутивность Упорядоченность Непрерывность множества вещественных чисел Модуль вещественного числа Множества на числовой прямой Операции с множествами Правило Моргана Ограниченные и неограниченные множества на числовой прямой

Лекция 2. Система вложенных отрезков.
Повторение материала предыдущей лекции Точная верхняя грань и точная нижняя грань Утверждение 1 (множество натуральных чисел не ограничено сверху) Принцип Архимеда Принцип вложенных отрезков (о системе вложенных отрезков) Стягивающаяся система вложенных отрезков (о стягивающейся системе вложенных отрезков) Замечание к теореме 2 Правила Моргана

Лекция 3. Конечные, счётные и несчётные множества.
Определения Конечные множества Счётное множество (любое бесконечное множество содержит счётное подмножество) (любое бесконечное подмножество счётного множества является счётным) (объединение конечного или счётного числа счетных множеств является счётным) Следствия из леммы 3 (любой невырожденный отрезок множества вещественных чисел несчётен) Следствие из теоремы Бином Ньютона

Лекция 4. Предел последовательности.
Неравенство Бернулли Понятие предела числовой последовательности Ограниченная последовательность Теорема 1 Арифметические свойства предела последовательности

Лекция 5. Предел последовательности (продолжение).
(бесконечно малая последовательность) Лемма о знаке Теорема о частном двух последовательностей Лемма о зажатых переменных Теорема (переход к пределу в неравенстве) Теорема Вейерштрасса Бесконечно большие последовательности Лемма (связь бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей)

Лекция 6. Число Эйлера.
Повторение материала прошлой лекции Пример (найти предел последовательности) Пример (найти предел последовательности) Представление числа е (применение неравенства Бернулли) Представление числа е (применение бинома Ньютона) Теорема Больцано-Вейерштрасса Определение последовательности Коши

Лекция 7. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
(из любой неограниченной сверху (снизу) последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую своим пределом +∞ и -∞) Частичный предел последовательности Фундаментальная числовая последовательность (о сходимости числовой последовательности) (если последовательность сходится, то она фундаментальна) Лемма (если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится, то и сама последовательность сходится к тому же пределу) Теорема (о переходе к пределу в неравенстве) Лемма (если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится, то и сама последовательность сходится к тому же пределу) - продолжение Лемма (о частичном пределе последовательности)

Лекция 8. Частичный предел.
Теорема (о единственном частичном пределе) Предельное множество последовательности (определение) Верхний предел последовательности (определение) Теорема (верхний и нижний пределы последовательности являются её частичными пределами) Теорема (принцип Бореля-Лебега) Предельная точка Теорема (принцип Больцано - Вейерштрасса) Открытое множество

Лекция 9. Пределы и арифметические операции.
Определение предела (по Коши и по Гейне) Лемма (о сохранении знака) Лемма (о пределе зажатой функции) Лемма (сумма пределов) Лемма (о пределе функции) Лемма (о произведении пределов) Теорема (о пределе частного) Предел, стремящийся к бесконечности

Лекция 10. Разрывы монотонной функции.
Теорема (предел сложной функции) Односторонние пределы Непрерывность функции в точке Классификация точек разрыва Разрывы монотонной функции Теорема (устройство монотонной функции)