Введение в квантовую теорию информации

Цели и задачи данного курса: освоение студентами строгих математических методов квантовой теории информации, опирающихся на продвинутые разделы матричного анализа, линейной алгебры, функционального анализа, топологии; приобретение навыков исследования фундаментальных ограничений, которые накладывает информационная теория на различные квантовые процессы (установление пропускной способности квантовых каналов, описывающих широкий класс физических процессов, разрушение и генерация сцепленности, вывод различных энтропийных неравенств); приобретение навыков диаграммного мышления в квантовой теории.

Квантовая теория информации позволяет предсказать, чего в принципе возможно достичь в различных (квантовых) протоколах обработки информации, квантовых алгоритмах, квантовой коррекции ошибок. Все эти области активно развиваются в последние годы, а построение полноценно работающего квантового компьютера - вопрос ближайших нескольких десятилетий. По этой причине специалисты в области квантовой информации будут широко востребованы.

Данный курс охватывает области, составляющие теоретические основы для построения квантового компьютера и создания протоколов обработки квантовой информации, однако изложение здесь ведется, исходя из фундаментальных принципов, с использованием таких общих представлений, как квантовый канал, оператор плотности, открытая система, сепарабельность, меры сцепленности, сцепленность (и другие характеристики квантовых систем) как ресурс для задач квантовых коммуникаций.

Отдельная важная часть, которая предполагается широко присутствовать в обновленном курсе - метод тензорных диаграмм (tensor networks). Диаграммные методы громко заявили о себе как эффективном инструменте в теоретической и математической физике, начиная еще с диаграмм Майера, Пенроуза, Фейнмана. В области квантовой информации они чрезвычайно полезны, так как, имея композициональный характер, они позволяют наглядно представить процессы, связывающие различные части сложных, составных квантовых систем, выявить неожиданные свойства, которые порой сложно увидеть применением аналитических методов. Типичный пример здесь - открытие механизма квантовой телепортации: с момента оформления аксиоматики квантовой теории (который можно связать с выходом книги Джона фон Неймана "Математические основы квантовой теории" в 1932 г.) потребовалось еще около 60 лет, чтобы усмотреть возможность такого механизма. Причина - стандартный формализм операторов и состояний в гильбертовом пространстве неудобен для описания составных квантовых систем. Язык же тензорных диаграмм позволяет ясно представить такие протоколы, как квантовая телепортация, сверхплотное кодирование, и т. д. В этой связи диаграммы ценны с педагогической точки зрения: после освоения языка "сложные" квантовые протоколы становится легче воспринимать, кроме того, изложение становится более компактным, так как длинные аналитические выкладки часто заменяются короткими диаграммными рассуждениями.

Курс имеет значительный уклон в теорию квантовой сцепленности и содержит результаты, недавно полученные и опубликованные ведущими учеными в этой области, а также и самим автором (такие, как неравенства для мер сцепленности, диаграммные методы получения истинно сцепленных подпространств, некоторые критерии сцепленности [12, 13]). В этом отношении курс современен и опирается на передовые исследования.