Интегральные уравнения и вариационное исчисление
Курс "Интегральные уравнения и вариационное исчисление" читается для студентов второго курса физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 4 семестре.
Лекционный курс разбит на 3 части: интегральные уравнения, вариационное исчисление и введение в методы решения некорректно поставленных задач. Первые лекции носят вводный характер и содержат изложение ряда вопросов функционального анализа, необходимых для понимания последующего лекционного материала. Затем подробно рассмотрены линейные интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра и некоторые связанные с ними вопросы, например, задача Штурма-Лиувилля и основы вариационного исчисления. Заключительные лекции посвящены изучению основ методов регуляризации некорректно поставленных задач на примере интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.
- 01:29:04Лекция 1. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.
- 01:24:28Лекция 2. Элементы теории линейных операторов. Часть 1.
- 42:05Лекция 3. Элементы теории линейных операторов. Часть 2.
- 01:48:15Лекция 4. Собственные векторы и собственные значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.
- 01:27:06Лекция 5. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Теорема Гильберта–Шмидта.
- 01:29:42Лекция 6. Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма 2 рода с непрерывным вещественным симметрическим ядром. Уравнение Фредгольма с вырожденным ядром.
- 01:28:57Лекция 7. Уравнение Фредгольма с вырожденным ядром. Принцип сжимающих отображений. Теорема о неподвижной точке.
- 01:26:44Лекция 8. Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма 2 рода с малым λ. Неоднородное интегральное уравнение Вольтерра 2 рода.
- 01:21:04Лекция 9. Уравнение Фредгольма с произвольным непрерывным ядром. Теоремы Фредгольма.
- 01:35:11Лекция 10. Задача Штурма-Лиувилля.
- 01:29:31Лекция 11. Вариационное исчисление. Задача с закрепленными концами. Необходимое условие экстремума.
- 01:20:35Лекция 12. Задача с подвижной границей.
- 01:28:30Лекция 13. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами.
- 01:26:29Лекция 14. Задачи на условный экстремум.
- 01:25:52Лекция 15. Метод регуляризации А.Н. Тихонова. Часть 1.
- 01:11:50Лекция 16. Метод регуляризации А.Н. Тихонова. Часть 2.