Интегральные уравнения и вариационное исчисление
Курс «Интегральные уравнения и вариационное исчисление» читается студентам второго курса физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 4 семестре.
Курс «Интегральные уравнения и вариационное исчисление» является достаточно сложным и включает ряд вопросов, трудных для усвоения студентами. Чтобы помочь студентам максимально быстро освоить необходимый материал, вначале коротко рассмотрен ряд вопросов теории линейных операторов в бесконечномерных нормированных пространствах.
В рамках курса рассмотрены интегральные уравнения, неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметричным и произвольными ядрами, уравнения Вольтерра 2-го рода, изучены задача Штурма-Лиувилля. Во второй части курса студенты знакомятся с вариационном исчислением, с понятием функционала, разбираются задача с закрепленными концами, задачи на условный экстремум (необходимое и достаточные условия), некорректно поставленные задачи.
- 01:14:04Лекция 1. Интегральные уравнения. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.
- 01:28:45Лекция 2. Элементы теории линейных операторов.
- 01:28:42Лекция 3. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряжённого оператора.
- 01:25:13Лекция 4. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром.
- 01:26:05Лекция 5. Интегральный оператор с вырожденным ядром. Теорема Гильберта-Шмидта.
- 01:24:53Лекция 6. Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрически непрерывным ядром.
- 01:14:08Лекция 7. Уравнения Вольтерра 2-го рода. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.
- 01:23:59Лекция 8. Уравнение Фредгольма 2-го рода с произвольными непрерывными ядрами. Теоремы Фредгольма.
- 01:28:43Лекция 9. Задача Штурма-Лиувилля. Теорема Стеклова.
- 01:27:35Лекция 10. Вариационное исчисление. Понятие функционала. Задача с закреплёнными концами.
- 01:27:56Лекция 11. Задачи на условный экстремум. Необходимое условие экстремума.
- 01:19:45Лекция 12. Достаточные условия экстремума в задаче с закреплёнными концами.
- 01:07:49Лекция 13. Некорректно поставленные задачи. Метод регуляризации Тихонова.
- 01:00:00Лекция 14. Вторая теорема Тихонова.