Теория групп в физике частиц

Курс представляет собой систематическое изложение теории групп и ее приложений к физике элементарных частиц. Он разделен на 2 части — математический аппарат и приложения.

В первой части вводятся базовые понятия теории групп, такие как гомоморфизм и изоморфима, прямые и полупрямые произведения, классы сопряженности, смежные классы и фактор-группы. Затем рассматриваются матричные группы, группы Ли и алгебры Ли: вводится касательное пространство, экспоненциальное отображение, генераторы и структурные константы. Отдельно разбираются компактные группы и их свойства. Вводятся основные понятия теории представлений: эквивалентные и неприводимые представлений, доказывается теорема Машке и леммы Шура. Наконец, даётся базовое понятие о характерах представлений.

Вторая половина курса посвящена непосредственным приложениям теории групп в физике частиц. Сначала разбираются группы вращений, Лоренца и Пуанкаре. Анализируется их алгебраическая структура, находятся генераторы и операторы Казимира, строятся конечномерные и неприводимые представления. Показано, как требования релятивистской инвариантности приводят к уравнениям Клейна-Гордона-Фока, Максвелла и Дирака.

Затем рассматриваются унитарные группы U(1), SU(2) и SU(3) как основа классификации адронов, вводится кварковая модель и массовые формулы Гелл-Манна-Окубо. Доказывается теорема Нётр. Завершается курс обсуждением калибровочных симметрий: спонтанное нарушение симметрии, механизм Хиггса и калибровочная группа Стандартной модели SU(3)×SU(2)×U(1).